<--- Vissza a főoldalra


Tippek és kikötések a feladat megoldásokhoz:


I. Egygenerátoros egyenáramú hálózatok analízise


1) Határozza meg a feszültséggenerátorból kifolyó áram nagyságát!

Segítség: először az eredő ellenállást tudni kell hozzá, majd az ohm-törvényt kell alkalmazni.
I=U/R
1 A = 1000 mA (milli)
1 mA = 0,001 A

Megoldás:      I = 31,74 mA  

2) Határozza meg a feszültséggenerátorból kifolyó áram nagyságát!

Segítség: először az eredő ellenállást tudni kell hozzá, majd az ohm-törvényt kell alkalmazni.
Jól figyelje meg az R7 ellenállást, hogy sorosan, vagy párhuzamosan van-e kapcsolva a feszültséggenerátorral!

Megoldás:   I = 45,94 mA


3) Határozza meg a feszültséggenerátorból kifolyó áram nagyságát!

Segítség: először az eredő ellenállást tudni kell hozzá, majd az ohm-törvényt kell alkalmazni.
Vegye észre, hogy rövidzár van kötve az R3 elenállással párhuzamosan (ezt söntölésnek hívjuk).
A rövidzár ellenállása ideálisan zérus.

Megoldás:   I = 364,36 mA



4) Határozza meg az R1 és R2 ellenállások feszültségét!


Segítség: Alkalmazza a feszültségosztó képletét, vagy alternatív megoldásként Kirchhoff II. törvényét.
1k = 1000
 k = (kilo)

Megoldás:   R1 ellenállás feszültsége: UR1 = 8 V

            R2 ellenállás feszültsége: UR2 = 16 V
A képen látható a két feszültségmérő bekötése, melyek mellett a mért feszültség megjelenik.



5) Határozza meg az R1, R2, R3 ellenállások feszültségét!


Segítség: Alkalmazza a feszültségosztó képletét, vagy alternatív megoldásként Kirchhoff II. törvényét. (Megoldható ohm-törvénnyel is)

Megoldás:   R1 ellenállás feszültsége: UR1 = 7,74 V
            R2 ellenállás feszültsége: UR2 = 15,48 V
            R3 ellenállás feszültsége: UR3 = 0,77417 V = 774,19 mV


Észrevétel: minél kisebb az ellenállás értéke, annál kevesebb feszültség esik rajta.
Az ideális vezeték ellenállása 0 Ohm, ezért azon nem esik feszültség.

6) Mennyit mutat a feszültségmérő és az árammérő?


Segítség: az eredő ellánállás meghatározása után, ohm-törvény segítségével a feszültséggenerátor árama meghatározható. A feszültségmérő által mutatott érték meghatározásához nem kell számolni, csak gondolkozni.

Megoldás:   árammérő: I = 109,15 mA
            feszültségmérő: U = 9 V

Észrevétel:  mindkét ellenálláson 9 V feszültség esik a párhuzamos kapcsolás miatt.

7) Mennyit mutatnak az árammérők?




Segítség: az eredő ellenállás meghatározása után, ohm-törvény segítségével a feszültséggenerátor árama meghatározható. A két ág árama ohm-törvénnyel külön-külön kiszámítható, valamint alternatív megoldásként áramosztó segítségével.

Megoldás:   feszültséggenerátor árama: IU1 = 109,15 mA
            R1 árama: IR1 = 90 mA
            R2 árama: IR2 = 19,15 mA
                              


Észrevétel:  generátor árama = a két ág áramának összegével (IU1=IR1+IR2).
Az egyenáramú árammérőknek van + és - bemenete. A + bemenetét kell a pozitívabb feszültségirány felé kötni.
Ellentkező esetben negatív értéket fog mutatni. Digitális műszereknél nem okoz problémát, de a hagyományos analóg műszerek mutatója a 0 érték alatt szeretne megállapodni, így könnyen tönkre mehet.
A következő képen látható feszültség és árammérő.



8
) Mennyit mutatnak az egyes árammérők az alábbi kapcsolásban?



Segítség: az eredő ellánállás meghatározása után az ohm-törvény is működik, de érdemes áramosztóval megoldani. A két ág árama áramosztóval külön-külön kiszámítható. Itt most a körbe forrásként áramgenerátort kötöttünk!

Megoldás:  az áramgenerátor árama: I1 = 2 A törvényszerűen
           R1 árama: IR1 = 1,65 A
           R2 árama: IR2 = 350,88 mA


Észrevétel:  minél kisebb az ellenállás értéke, annál nagyobb az áram. I1 = IR1 + IR2


II. Váltakozó áramú hálózatok analízise


9) Mennyi a körben folyó áram?


Segítség: a feszültséggenerátor 230 V ∠0°-os szinuszos feszültségen táplálja a hálózatot, f = 50 Hz frekvencián. Az ohm-törvény felírásához tudni kell az impedanciát, majd komplex számhalmazon számolva az áram kiszámolható. Kapacitív reaktancia esetén XC = -j, induktív reaktancia esetén XL = +j. Tudni érdemes, hogy a valós számok részhalmaza a komplex számoknak, így pl. 230 = 230+j0, vagy 230-j0.
Xc = 1/(ω*C) [Ω],     ω = 2*π*f [rad/s]

Megoldás: XC = -j318,32 Ω   (kapacitív reaktancia)
         
I = U/Z = 230/(-j318,32) = j0,722 A  = 0,722 ∠+90° A = 722
∠+90° mA
Tehát az áram abszolútértéke (vektor hossza) 0,722, és a valós tengelyhez képest +90°-al el van forgatva a Descartes-féle koordináta rendszerben.
A vektorábrán (fazor-ábra) az áram vektor hossza nagyítva van az ábrázolhatóság miatt.

Észrevétel:
mivel a körben nincs más passzív elem (tekercs, ellenállás), így az áram és a feszültség vektor között 90° a bezárt szög.
A körben folyó áram 90°-ot siet a feszültséghez képest.
Ha valós számhalmazon számoltunk volna, akkor csak a végeredmény I = 0,722 A lenne, nem tudnánk a feszültség-áram fázisait.


10) Adott egy Z impedancia, milyen passzív elemeket tartalmazhat?

Z = 7+j19,7 Ω

Segítség: az impedancia értéke egy komplex szám, ami valós és képzetes részből tevődik össze.
Itt Z = R + j
XL. Mint már taglaltam, ha j értéke pozitív, akkor az impedancia eredőben induktív jellegű.
R = 7
Ω
XL = j19,7 Ω

Megoldás: az impedancia tehát tartalmaz biztosan egy ellenállást és egy induktivitást. Nem tudni biztosan viszont, hogy kondenzátor is van-e a körben, de ha igen, akkor a kondenzátor reaktanciája az kisebb, mint a tekercs reaktanciája. Később látunk erre is példát.

11) Határozza meg az eredő impedanciát A-B pontok között


Segítség: a két impedancia sorosan van kötve, ezért egyszerűen a két értéket össze kell adni.


Megoldás: ZAB = 5+j10 + 1-j45,6 = 6-j35,6 = 36,1 ∠-80,43°  Ω


12) Határozza meg az eredő impedanciát A-B pontok között


Z1 = 0,1-j1666 Ω
Z2 = 20-j540 Ω
Z3 = 55+j41,2 Ω

Segítség: a Z2, Z3 impedancia párhuzamosan van kötve (replusz alkalmazandó), Z1 pedig sorosan az előző kettővel.

Megoldás: ZAB = 63,5936-j1628,74  Ω  = 1629,98 ∠-87,76°  Ω


13) Határozza meg az eredő impedancia értékét!

f = 50 Hz

Segítség: a három elem sorba van kötve, először a reaktanciákat kell kiszámolni, majd összegezni őket az ellenállás értékével, komplex számmal ábrázolva.
Xc = 1/(ω*C) [Ω],   XL = ω*L [Ω],   ω = 2*π*f [rad/s]

Megoldás: Z = R+jXL-jXC  = 10+j15,7-j67,72 = 10-j52,02 Ω = 52,97∠-79,12° Ω

14) Határozza meg az eredő impedancia értékét!

f = 50 Hz

 

Segítség: a három elem sorba van kötve, először a reaktanciákat kell kiszámolni, majd összegezni őket az ellenállás értékével, komplex számmal ábrázolva.
Xc = 1/(ω*C) [Ω],   XL = ω*L [Ω],   ω = 2*π*f [rad/s]

Megoldás: Z = R+jXL-jXC  = 5+j188,5-j67,72 = 5+j120,78 Ω = 120,88 ∠87,63° Ω (induktív)



15) Határozza meg az áramot, az ellenállás és induktivitás feszültségét, valamint a teljesítménytényező értékét!


Segítség: először az adatokat olvassuk le az ábráról, majd impedanciát szükséges kiszámolni, ezek után az ohm-törvényt kell alkalmazni.
Ha tudjuk az áramot, akkor szintén ohm-törvénnyel az ellenállás és tekercs feszültsége kiszámolható.
A teljesítménytényező a feszültség és áramvektor között lévő bezárt szög koszinusza.

Alkalmazandó képletek:
ω  = 2*π*f [rad/s]
XL = ω*L [Ω] 
= R+jXL
I  = U/Z
UR =    R*I
UL = jXL*I
cosϕ

Megoldás:
XL = j100 Ω 
ω  = 314,15 rad/s
= 100+j100 Ω  = 141,42 ∠45°  Ω
I  = 230/(100+j100) = 1,15-j1,15 = 1,62 ∠-45° A, az áram késik
UR =    162,63 ∠-45° V
UL = 162,63 ∠+45° V
cosϕ  = cos45° = 0,707

Észrevétel: az áram és az ellenálláson eső feszültség szöghelyzete ugyan az (45°), a tekercs feszültsége az ellenállás feszültségéhez képest +90°-al el van forgatva. Az ellenállás feszültsége és a tekercs feszültsége között pontosan derékszög van. Az áram késik a feszültséghez képest, tehát az áram induktív jellegű.

16) Határozza meg az áramot, az ellenállás, tekercs, kondenzátor feszültségét, valamint a teljesítménytényező értékét!


U =    48 ∠0° V szinuszos
f =    50 Hz


Segítség: az impedanciát szükséges kiszámolni (ehhez a reaktanciákat tudni kell), majd az ohm-törvényt kell alkalmazni az áram meghatározásához.
Ha tudjuk az áramot, akkor szintén ohm-törvénnyel az ellenállás, tekercs, kondenzátor feszültsége kiszámolható.
A teljesítménytényező a kapocsfeszültség vektor és áramvektor között lévő bezárt szög koszinusza.

Alkalmazandó képletek:
ω  = 2*π*f [rad/s]
XL = ω*L [Ω]  
Xc = 1/(ω*C) [Ω]
= R+jXL
I  = U/Z
UR =    R*I
UL = I*jXL
UC = I*(-jXC)
cosϕ

Megoldás:
XL = j100 Ω
XC = -j100 Ω 
ω  = 314,15 rad/s
= 100+j100 -j100 Ω  = 100 ∠0°  Ω
I  = 48/100 = 0,48 = 0,48 ∠0° A = 480 mA, az áram fázisban van a feszültséggel
UR =    48∠0° V = U
UL = 48∠+90° V
UC = 48∠-90° V
cosϕ  = cos0° = 1


17) Határozza meg a látszólagos, hatásos, meddő teljesítmény értékét az ellenálláson!



U =    12 ∠0° V szinuszos
f =    50 Hz

Segítség:
Az áramot ohm-törvénnyel meg kell határozni.

Megoldás: ellenálláson az áram és a feszültség fázisban van, ezért a teljesítménytényező (cosϕ) biztosan = 1, mert nem lesz fáziskülönbség a feszültség és az áram között (cos0 = 1).

I = U/R =  12/100 = 0,12 A = 120 mA

S = U*I = 12*0,12 = 1,44 VA
P = U*I*cosϕ = 12*0,12*1 = 1,44 W
Q
= U*I*sinϕ = 12*0,12*0 = 0 VAr

Észrevétel: a hatásos teljesítmény hővé alakul, tehát az ellenállás melegszik.

18) Határozza meg a látszólagos, hatásos, meddő teljesítmény értékét a kondenzátoron!


U =    12 ∠0° V szinuszos
f =    50 Hz

Segítség:
Az áramot ohm-törvénnyel meg kell határozni, a reaktancia kiszámolása után.

Megoldás:

XC = -j318,32 Ω
I = U/Z =  12/(-j318,32) = 37,7 ∠90° mA

S = U*I = 12*37,7m = 0,452 VA
P = U*I*cosϕ = 12*37,7m*0 = 0 W
Q
= U*I*sinϕ = 12*37,7m*1 = 0,452 VAr

Észrevétel: látható, hogy a teljesítményeknél nem számolunk a vektor szöghelyzetével, csak vektor hosszal. A kondenzátoron a hatásos teljesítmény P = 0, tehát az nem fűt el hőt. A meddő teljesítmény kondenzátor esetén a villamos tér megváltoztatására fordul.

19) Határozza meg a látszólagos, hatásos, meddő teljesítmény értékét a tekercsen!




U =    12 ∠0° V szinuszos
f =    50 Hz

Segítség:
Az áramot ohm-törvénnyel meg kell határozni, a reaktancia kiszámolása után.

Megoldás:

XC = j157,07 Ω
I = U/Z =  12/(j157,07) = 76,4 ∠-90° mA

S = U*I = 12*76,4m = 0,917 VA
P = U*I*cosϕ = 12*76,4m*0 = 0 W
Q
= U*I*sinϕ = 12*76,4m*1 = 0,917 VAr

Észrevétel: a tekercsen a hatásos teljesítmény P = 0, tehát az nem fűt el hőt. A meddő teljesítmény tekercs esetén a mágneses tér megváltoztatására fordul.

20) Határozza meg a látszólagos, hatásos, meddő teljesítmény értékét az impedancián!

U =    12 ∠0° V szinuszos
Z = 5+j10 Ω (látható, hogy az impedancia induktív jellegű)

Megoldás:

I = U/Z =  12/(5+j10) = 1,07 ∠-63,44° A (induktív)
cosϕ = cos63,44 = 0,447
sinϕ = sin63,44 = 0,894

S = U*I = 12*1,07 = 12,88 VA
P = U*I*cosϕ = 12*1,07*0,447 = 5,74 W
Q
= U*I*sinϕ = 12*1,07*0,894 = 11,48 VAr


III. Többgenerátoros egyenáramú hálózatok analízise

21) Határozza meg az R3 ellenálláson folyó áram nagyságát és irányát!


Segítség: a feladatot a szuperpozícó tételével kell megoldani, vagy alternatívaként Kirchhoff-törvényeivel. Az áramgenerátor belső ellenállása végtelen. Ennél a kapcsolásnál az ellenállások értéke nem számít, mert az áramgenerátor átkényszeríti rajtuk az áramot.

Megoldás: IR3 = 2 A + 1 A = 3 A, lefelé mutat.


22) Mennyit mutat az árammérő és a feszültségmérő?



Segítség: a feladatot a szuperpozícó tételével kell megoldani, látható, hogy kettő feszültséggenerátor sorba van kötve, ekkor ebben az elrendezésben a feszültségük egyszerűen összeadódnak (ez olyan, amikor kettő darab ceruzaelemet sorba kötünk).

Megoldás:


23) Mennyit mutat az árammérő és a feszültségmérő?




Segítség: a feladatot a szuperpozícó tételével kell megoldani

Megoldás:


Észrevétel: a két generátor feszültsége egymással szembe mutat, és mivel azonos a feszültség nagysága, ezért eredőben nem fog folyni áram az ellenálláson.

24) Mennyit mutat az árammérő és a feszültségmérő?


Segítség: a feladatot a szuperpozícó tételével kell megoldani

Megoldás:

I.  (csak az áramgenerátor működik)
     
I'R1 = I1*R3/(R1+R3) = 50 mA
      U'R1 = U1*I'R1 = 2,35 V

II.
(csak a feszültséggenerátor működik)
      U''R1 =
U1*(R3/R1+R3) = 12 V 
      I''R1 =
U''R1/R1 = 255,32 mA

               UR1 = U'R1 + U''R1 = 2,35+12 = 14,35 V
      IR1 = I'R1 + I''R1 = 50m+255,32m = 305,32 mA




25) Mennyit mutat az árammérő?



Segítség: a feladatot a szuperpozícó tételével kell megoldani


Megoldás:
I.  (csak a feszültséggenerátor működik)
      I'R3 = U1/(R1+R3+R4) = 285,71 mA


II.
(csak az áramgenerátor működik)
      I''R3 =
I1*(R1+R4)/(R1+R4+R3) = 380,95 mA

              
    IR3 = I'R3 + I''R3 = -285,71 m + 380,95 m = 95,23 mA (az első lépésnél az áram iránya felfelé mutat)







Vissza a főoldalra