Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató

A harmonikus rezgõmozgás

Rugalmas ( kvázielasztikus ) erõk lineáris erõtörvénnyel írhatók le, vagyis a nyugalmi (erõmentes) helyzettõl mért x kitéréssel egyenesen arányos a visszatérítõ erõ. Ilyen pl. a rúgóerõ, de jó közelítéssel ugyanilyen erõ jelenik meg minden stabil egyensúlyi helyzetben levõ tömegpont esetében, ha a tömegpont egyensúlyi helyzettõl való x kitérése nem túl nagy. A továbbiakban azt kívánjuk vizsgálni, hogy ilyen erõ hatására milyen típusú mozgás alakul ki. Az egyszerûbb tárgyalás kedvéért egy dimenziós mozgással foglalkozunk. A rúgóerõt leíró függvény alakja ekkor a következõ:


\begin{displaymath}F=-D x\end{displaymath}

A D  (N/m) mennyiséget rúgóállandónak nevezhetjük. Nagyobb D-értékkel jellemzett rúgót nagyobb erõvel tudjuk ugyanannyival megnyújtani. A konzervatív mezõknél tanultuk, hogy ez az erõ konzervatív s a potenciális energia kifejezését \( W_{p}=1/2 Dx^{2} \) formában adhatjuk meg.

Newton második törvénye \( m\ddot{x}=F_{e} \) , az aktuális erõtörvénnyel együtt vezet a mozgásegyenlethez. . Ez esetünkben a következõt eredményezi: \( m\ddot{x}=-D x \) . Az \( \omega =\sqrt{D/m}. \) jelölés, némi átrendezéssel társulva a harmónikus rezgõmozgás differenciálegyenletét szolgáltatja


\begin{displaymath}\ddot{x}+\omega ^{2}x=0\end{displaymath} (7)

Ez tehát a mozgásegyenlet a meghatározandó x(t) függvény számára:

Ennek az általános megoldása


\begin{displaymath}x(t)=A cos(\omega t+\varphi )\end{displaymath} (8)

Ezt úgy kapjuk, hogy az \( x=e^{\lambda t} \) alakú megoldást feltéve \( x-et, valamint \ddot{x}=\lambda ^{2}e^{\lambda t} \) -et ( 7) egyenletbe helyettesíjük. Ekkor a következõ karakterisztikus polinomot kapjuk: \( \lambda ^{2}+\omega ^{2}=0 \) . Ennek két megoldása \( \lambda _{1,2}=\pm i\omega \) alapján az általános megoldás a független megoldások lineáris kombinációja \( x=C_{1} e^{i\omega t}+C_{2} e^{-i\omega t} \) . A C1, C2 konstansokat két másikkal váltjuk föl. A \( C_{1}=A e^{i\varphi }/2 \) , illetve a \( C_{2}=A e^{-i\varphi } \) konstans átírással a kapjuk az ( 8) alakot. \( x(t)=A/2 (e^{i(\omega t+\varphi )}+ e^{-i(\omega t+\varphi )})=A cos(\omega t+\varphi ) \)

A (8) által leírt mozgástípus nem csak harmónikus rezgõmozgást végzõ tömegpontra jellemzõ. Más tartalommal ugyan, de hasonló alakban jelenik meg a fizika más területein is, így a váltakozó áramoknál, hanghullámoknál stb.

Az x kitérés maximális értéke, az A amplitudó. A \( \Phi =\omega t+\varphi \) mennyiséget a rezgés fázisának nevezzük. A fizikai mennyiség értékét ( itt ez a kitérés, a sebesség, .. ) a fázis aktuális értéke határozza meg.

Az (8) által leírt mozgás tipikusan periodikus mozgás, vagyis van olyan T u.n. periódusidõ, amelyre x(t) = x(t+T). A mozgás bármely T hosszúságú szakasza ugyanilyen idõtartamonként szabályosan ismétlõdik. A cos függvény \( 2\pi \) periódushossza alapján tehát T idõtartam alatt a fázis \( 2\pi \) -vel növekszik, vagyis \( \omega T=2\pi \) , illetve \( \omega =2\pi /T \) . Ha a mozgás egy períódusának hossza pl. T = 0.1 sec akkor 1sec alatt 10 rezgési esemény játszódik le. Az \( f=1/T \) mennyiség tehát megadja az 1 sec alatt lejátszódó rezgések számát. Ezt frekvenciának nevezzük, egysége 1/sec vagy egy Hertz nevû fizikus után az 1 Hz. Ennek \( 2\pi \)-vel szorzott változata a körfrekvencia \( \omega =2\pi /T=2\pi f \) ennek egysége szintén 1/sec azonban erre sohasem használjuk a Hz nevet. Könnyen belátható, hogy a körfrekvencia és a szögsebesség szoros rokonságban levõ fogalmak. Az \( \omega \) mennyiséget mint jelölést vezettük be (7)-nél \( \omega ^{2}=D/m \) alapján. \( \omega \) szerepe alpján látjuk, hogy a rezgés frekvenciája a rezgõ redszertõl függ, nevezetesen attól, hogy milyen rúgóra milyen tömeget rakunk.

Mivel a második deriváltból következtetünk az eredeti függvényre, ez -még akkor is ha formálisan nem is jelenik meg az integrál jele- kétszeres idõszerinti integrált jelent az ennek megfelelõ kettõ darab integrációs állandóval együtt. Ezen állandókat a kezdeti feltételek rögzítik, illetve ezen konstansok teszik lehetõvé a megoldás tetszõleges kezedeti feltételhez való illesztését. A \( \varphi \) kezdõfázis, vagy más néven a fázisállandó az A amplitudóval egyetemben a kezdeti feltételekbõl határozható meg, vagyis abból, milyen kezdeti kitérésbõl, milyen kezdeti sebességgel indítottuk útjára a rezgõmozgást.

Az alkalmazott kezdeti feltételek: to = 0 -ban adott a kitérés, és és a sebesség, tehát \( x_{o}, V_{o} \) . A A -t és \( \varphi \)-t kell úgy megválasztanunk, hogy a megoldásfüggvény ezeket az értékeket is helyesen adja vissza. \( x(0)=x_{o}=A cos(\varphi ) \) , a sebesség kifejezése alapján \( \dot{x}=-A \omega sin(\omega t+\varphi ) \) kapjuk a másik egyenlet \( v_{o}=-A\omega sin(\varphi ) \) . Ezekbõl kapjuk négyzetre emeléssel az amplitudót: \( A=\sqrt{x^{2}_{o}+(V_{o}/\omega )^{2}} \) A kezdõfázist (a fázisállandót) a \( cos(\varphi )=x_{o}/A \) és a   \( sin(\varphi )=-V_{o}/(A \omega ) \) függvényértékekbõl számíthatjuk ki.


Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató