Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató

Csillapított rezgõmozgás

A rúgóerõn túl a tömegpontra most a sebességével arányos , azzal ellentétes irányú fékezõerõ is hat:   \( F_{cs}=-k V_{x} \) . Ilyen tipusú erõ hat például viszkózus közegben mozgó, nem túl nagy sebességû testre. Az ezen erõ következtében fellépõ jelenséget általában csillapításnak nevezzük, s magát az erõt is alkalmanként csillapítóerõként emlegetjük. Ennek az erõnek a teljesítménye negatív: \( P=\vec{F} \vec{V}=-kV^{2} \) , s ha a teljesítménytételre gondolunk, belátjuk, hogy ezen erõ a mozgási energiát csökkenti.

Az ismert koreográfiával jutunk a mozgásegyenlethez -Newton másodikba betöltjük az eredõ erõt-: \( m\ddot{x}=-D x-kV /\equiv F_{e}/ \) . Az \( \omega _{o}^{2}=D/m \) , és az újabb \( 2 \beta =k/m \) jelölés bevezetésével, átrendezés után kapjuk a csillapított rezgõmozgás differenciálegyenletét.


\begin{displaymath}\ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega ^{2}_{o}x=0\end{displaymath}

Az ránézésre világos, hogy fizikailag lényegesen különbözõ mozgástipust kapunk akkor, ha az \( \omega ^{2}_{o}x \) képviselte rúgóerõ a meghatározó vagy pedig a \( 2 \beta \dot{x} \) csillapítóerõ.

A megoldást itt is \( x=e^{\lambda t} \) alakban keressük, s ha találtunk \( \lambda _{1}, \lambda _{2} \) érékeket, amelyeknél a föltételezett függvényforma megoldása a differenciálegyenletnek, akkor a diffegyenlet általános megoldása \( x=C_{1} e^{\lambda _{1}t}+C_{2} e^{\lambda _{2}t} \) . Behelyettesítve x(t) megadott alakját, valamint deriváltjait a csillapított rezgõmozgás differenciál egyenletébe, a következõ karakterisztikus polinomot kapjuk: \( \lambda ^{2}+2 \beta \lambda +\omega _{o}^{2}=0 \) . Ennek megoldása


\begin{displaymath}\lambda _{1,2}=-\beta \pm \sqrt{\beta ^{2}-\omega _{o}^{2}}\end{displaymath}

A diszkrimináns elõjelétõl függõen különbözõ megoldástípusokat kapunk.

Ha \( \beta ^{2}>\omega _{o}^{2} \) , akkor a gyökjel alatt pozitív mennyiség áll. Ezt az esetet nevezzük erõs csillapításnak. Az általános megoldás alakja ekkor a következõ


\begin{displaymath}x=e^{-\beta t}[C_{1} e^{(\sqrt{\beta ^{2}-\omega _{o}^{2}}) t}+C_{2} e^{(-\sqrt{\beta ^{2}-\omega _{o}^{2}} ) t}]\end{displaymath}

Ebben a mozgásban már semmi rezgésszerû nincs, x végül exponenciálisan tart zérushoz.

Kritikus csillapításról beszélünk akkor, ha diszkrimináns zérus. Az általános megoldás alakja ekkor \( x=C_{1}e^{-\beta t}+C_{2} t e^{-\beta t} \) . Célszerû ezen esetet csupán olyan határesetnek tekinteni, amely a két fizikailag megvalósítható esetet választja szét.

Figure: Csillapítatlan és gyengén csillapított rezgés látható a felsõ ábrasorban. Az alsó sor a gerjesztett rezgés indulását, valamint a különbözõ csillapításokhoz tartozó rezonanciagörbéket mutatja.
\resizebox*{13cm}{8cm}{\includegraphics{rezg4.eps}}

Gyenge csillapításról akkor beszélünk, ha \( \omega ^{2}_{o}>\beta ^{2} \) , ekkor \( i=\sqrt{-1} \) -et kiemelve a diszkriminánsból, kapjuk \( \lambda _{1,2}=-\beta \pm i \omega \) . Itt az \( \omega =\sqrt{\omega _{o}^{2}-\beta ^{2}} \) jelölést alkalmaztuk. A csillapítatlan rezgõmozgásnál alkalmazott eljárást követve kapjuk az általános megoldást: \( x=A e^{-\beta t} cos(\omega t+\varphi ) \) . Kezdeti feltételek határozzák meg az amplitudót és a fázisállandót, a rezgõ rendszer paraméterei pedig a csillapítást -\( \beta \)- és rezgés körfrekvenciáját. Vegyük észre, hogy a csillapított rezgõ rendszer \( \omega \) körfrekvenciája kisebb a csillapítatlan rendszer \( \omega _{o} \) körfrekvenciájánál.


Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató