Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató

Gerjesztett rezgés, rezonancia

Gerjesztett rezgés (kényszerrezgés) akkor jön létre, ha a tömegpontra a rúgóerõn és a sebességgel arányos fékezõerõn túl, periódikus gerjesztõerõ is hat. A gerjesztõerõt tiszta cosinuszos (vagy szinuszos) alakúnak tesszük föl: . Ilyen ``erõ'' hat például egyszínû fénnyel megvilágított atomok elektronjaira, de kiegyensúlyoztlan forgó motoralkatrészek is ilyen típusú erõket keltenek. Az itt figyelmbe vett gerjesztõerõ egyetlen körfrekvenciát tartalmaz, s ez látszólag indokolatlanul leszûkíti a figyelembe vehetõ gerjesztõerõ függvényalakokat. Tudjuk azonban a Fourier sörök elméletébõl, hogy tiszta sinuszos / cosinuszos függvényekbõl elég széles függvényosztály rakható össze. Így, ha ismerjük a tömegpont mozgását különbözõ gerjesztõ frekvenciák esetére, akkor ezen mozgások szuperpoziciójával bonyolultabb gerjesztõ függvényekhez is össze tudjuk rakni a tömegpont mozgását leíró függvényt. Ezt egyébként a ( 9) mozgásegyenlet linearitása teszi lehetõvé.

Az eredõ erõt leíró erõtörvény tehát:

$$F_{e}=-D x-k V+F_{o}cos(\Omega t)$$

Az elõbbi erõ hatására létrejövõ mozgást kívánjuk meghatározni, vagyis keressük a tömegpont helyzetét leíró x(t) függvényt. Newton második törvénye alapján az x(t) függvényre vonatkozó mozgásegyenlet a következõ:

$$m \ddot{x}=-D x-k V+F_{o}cos(\Omega t)$$

Az újabb: , valamint a jelölést is alkalmazva kapjuk

$$\ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega ^{2}_{o}x=f_{o}cos(\Omega t)$$ (9)

Most pedig fölsoroljuk ezen diffegyenlet minden címét, rangját és egyéb sallangjait. A számtanórán tanult elnevezési szabályok alapján õ egy közönséges ( annyira azért nem, csupán egyváltozós ), másodrendû, konstans együtthatójú, lineáris, inhomogén differenciálegyenlet az ismeretlen x(t) mozgástörvény számára. Az inomogenitás az -tól van. Ha ezt 0-val helyettesítjük, akkor a differenciálegyenlet homogén részét kapjuk.

Az inhomogén differenciálegyenletének áltános megoldását.  alakban keressük, ahol a homogén egyenlet általános megoldása, pedig az inhomogén egyenlet valamilyen partikuláris ( speciális, nem általános ) megoldása. A partikuláris megoldást ugyanolyan jellegû trigonometrikus alakban keressük, amilyen maga a gerjesztõerõ. .

Föltesszük tehát, hogy a kialakuló gerjesztett rezgés, a gerjesztõerõtõl örökli a frekvenciáját. A homogén egyenlet általános megoldása függvény szerint tart nullához, így elegendõ idõ eltelte után csak az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása marad meg. A gerjesztett rezgés kezdeti, idõvel kihunyó része a tranziens jelenségek köréhez sorolható. Tranziens -átmeneti- jelenségek akkor játszódnak le, ha egy rendszer valamilyen paraméterét hirtelen megváltoztatjuk, bekapcsoljuk, valamilyen kezdeti feltétellel elindítjuk, stb. Ilyenkor a késõbb stacionáriussá váló (idõben állandósuló) megoldást, és a kezdeti érékeket, egy idõben lecsengõ - rendszerint exponenciálisan csökkenõ függvény - köti össze. Esetünkben ezt az írja le. A homogén egyenlet általános megoldása az tartalmazza azokat az integrációs állandókat, amelyekkel a megoldást tetszõleges kezdeti feltételekhez hozzá tudjuk igazítani. A megoldásnak ez a része zérushoz tart, így a rendszer szép lassan elfelejti milyen kezdeti feltételekbõl indult is el.

A továbbiakban csak az állandósult megoldással foglalkozunk, s a rövidebb írásmód kedvéért az egyszerûbb jelölést alkalmazzuk.

Az alakú partikuláris megoldásra azt kell megállapítanunk, hogy milyen A és értékek esetén lesz a függvény megoldása az inhomogogén egyenletnek. Itt tehát A és nem a kezdeti feltételekbõl, hanem a differenciálegyenletbe való behelyettesítésbõl számítható. Behelyettesítéshez szükségünk van a derivált függvényekre, valamint az összegfüggvények kifejtésére.

$$\begin{array}{c}\dot{x}=-A \Omega sin(\Omega t+\var......) cos(\vartheta )-sin(\Omega t)sin(\vartheta )\end{array}$$

A sin függvény kifejtését az olvasóra bízzuk. Behelyettesítve ezeket az (9) egyenletbe baloldalon külön kigyûjtjük a függvény együtthatóit valamint külön a együtthatóit, s azt mondjuk: a jobb és baloldali trigonometrikus kifejezés tetszõleges idõpontra akkor lesz egyenlõ, ha megfelelõ trigonometrikus függvények együtthatói jobb és baloldalon megegyeznek. Ez a valamint a együtthatóira kirótt követelmény a következõkhöz vezet:

$$\begin{array}{c}A (\omega _{o}^{2}-\Omega ^{2}) cos(\va......heta )-2 A \beta \Omega cos(\vartheta )=0\end{array}$$

Négyzetre emelés és összeadás után az amplitudóra a következõ kifejezést kapjuk:

$$A=\frac{f_{o}}{\sqrt{(\omega _{o}^{2}-\Omega ^{2})^{2}+4 \beta ^{2} \Omega ^{2}}}$$

Adott rezgõrendszer esetén ( azaz rögzített értékek ) az amplitudó függését a gerjesztõerõ (kör)frekvenciájától az ( ) ábrán láthatjuk. Ezt az görbét rezonanciagörbének nevezzük. Látható, hogy a csillapítás csökkentésével a rezonanciagörbe egyre élesebbé válik. A görbék maximuma a rezgõrendszer sajátfrekvenciája közelében van, vagyis egy rezgõ rendszer azon frekvenciájú gerjesztésbõl hajlandó sok energiát elnyelni, amellyel maga is képes rezegni. Ez a jelenség meglehetõsen általános a fizika számos területén, atom és magfizikától kezdve, a rozzant autóbuszok ablakainak berezgéséig, de rádiónkon a rádióállomások kiválasztása is a rezonancia jelenségén alapul.

Az egyenletekbõl a szög is meghatározható, de ezzel nem foglalkozunk részletesen. Ennek szokásos kifejezése:

$$tan(\vartheta )=\frac{-2 \beta \Omega }{(\omega _{o}^{2}-\Omega ^{2})}$$

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató