FIZIKA I. Mechanika, Hõtan.

Rezgések összegzése

Gyakran elõfordul, hogy egy tömegpont különbözõ hatások következtében egyidejûleg több rezgést is végez. A feladatunk az, hogy a rezgések szuperpoziciójából ( összetevésébõl, egymásraültetésébõl ) keletkezõ eredõ mozgás jellegzetességeit tisztázzuk. A rezgésösszegzések egyik alaptípusa az egyirányú rezgések összegzése. Ekkor a tömegpont ugyanazon x tengely mentén egy $x_{1}(t)$ és egy $x_{2}(t)$ függvényekkel leirt harmónikus rezgõmozgást végez. Föltesszük ( megköveteljük ), hogy az eredõ mozgás pillanatnyi kitérése a két függvény által meghatározott pillanatnyi kitérés összege legyen, vagyis $x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$ . Ez a kikötés nem magától értetõdõ dolog. Ha a rúgóhoz biggyesztett test egyik mozgásának amplitudója mondjuk 10 cm, s legyen a másik mozgásra is ugyanez, akkor lehet hogy az eredõ mozgáshoz tartozó maximális kitérésnél az a rúgó már nem egy rúgó. Lehet hogy kettõ -azaz eltörik -, de lehet, hogy a deformáció csupán túllépi azt a határt, amelynél még a lineáris erõtörvényt követi. Ekkor már nem egyszerû összegzéssel kapjuk az eredõ mozgást. Ez utóbbi beteges eseteket tehát kizárjuk.

Egyirányú, azonos frekvenciájú, különbözõ amplitudójú rezgések összegzése.

$\begin{displaymath}x_{1}(t)=A_{1}cos(\omega t+\varphi _{1}) ......, x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)\end{displaymath}$

Az eredõ rezgést a következõ formában keressük: $x(t)=Acos(\omega t+\varphi ).$

$\begin{displaymath}A cos(\omega t+\varphi )=A_{1}cos(\omega t+\varphi _{1})+A_{2}cos(\omega t+\varphi _{2})\end{displaymath}$

(10)

Föltesszük, hogy az eredõ mozgás örökli a ( kör-)frekvenciáját az azonos frekvenciájú összetevõktõl. A mozgástörvény egyértelmû meghatározásához az A amplitudó, és fázisállandó értékei szükségesek.

Ismert a lenti trigonometriai nagy varázslat.

$\begin{displaymath}x_{1}(t)=A_{1}cos(\omega t+\varphi _{1}) =A_{1}cos(\omega t) cos(\varphi _{1})-A_{1}sin(\omega t) sin(\varphi _{1}) \end{displaymath}$

(11)

Ennek megfelelõen kifejtjük (10) mindkét oldalát: baloldalon az eredõ rezgés, jobboldalon a két összetevõ függvényeit. Egyenletünk mindkét oldalán megjelenõ trigonometrikus kifejezések tetszõleges idõpontra akkor lesznek egyenlõek, ha a megfelelõ idõfüggõ trigonometrikus függvények együtthatói jobb és baloldalon egyenlõek. A $\cos (\omega t))$ függvények együtthatóinak egyenlõsége a következõkhöz vezet:

$\begin{displaymath}A\cos (\varphi )=A_{1}\cos (\varphi _{1})+A_{2}\cos (\varphi _{2})\end{displaymath}$

A sin függvény együtthatóinak egyenlõsége szolgáltatja a következõ egyenletet:

$\begin{displaymath}A\sin (\varphi )=A_{1}\sin (\varphi _{1})+A_{2}\sin (\varphi _{2})\end{displaymath}$

A két egyenlet négyztreemelés utáni összeaadásával -alkalmazva néhány együgyû trigonometria azonosságot - kapjuk az eredõ rezgés amplitudóját:

$\begin{displaymath}A=\sqrt{A^{2}_{1}+A^{2}_{2}+2 A1 A2\cos (\varphi _{2}-\varphi _{1})}\end{displaymath}$

(12)

Rögtön látható, hogy az azonos fázisú összegzés az amplitudók összeadásához vezet, ellentétes fázisú ( $\varphi _{2}-\varphi _{1}=\pi$ ) szuperpozició pedig az amplitudók különbségéhez ( $A=\left\vert A_{1}-A_{2}\right\vert$ ). Egyenlõ amplitudók, -ez utóbbi esetben- az eredõ rezgés amplitudójául 0-t eredményeznek, Összefoglalva: egyenlõ frekvenciájú azonos fázisú rezgések erõsítik egymást, az ellentétes fázisúak gyengítik, s ezen belül az egyenlõ amplitudójúak kioltják egymást. Az itt elkövetett meggondolások a hullámok interferenciajelenségeinél is majdnem egy az egyben alkalmazhatóak.

Az A amplitudó ismeretében az eredõ rezgés fázisának sinusa és cosinusa kiszámítható, így magát a fázisszöget is meg tudjuk adni.

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató