Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ

Egyirányú, különbözõ frekvenciájú, egyenlõ amplitudójú rezgések összegzése.

Egyirányú, egyenlõ amplitudójú rezgések szuperpozicióját vizsgáljuk. Az amplitudók egyenlõségét ugyan nem kellene elõírnunk, de ha tisztán a frekvenciák különbözõségének következményeit kívánjuk tisztázni, akkor más paramétereket azonos értékeken célszerû tartani.

Itt is megköveteljük, hogy az eredõ mozgás pillanatnyi kitérése a két rezgés pillanatnyi kitérésének összege legyen.

$$x_{1}(t)=Acos(\omega _{1}t+\varphi _{1}) ......, x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$$

Vagyis az eredõ kitérés pillanatnyi értéke:  . Erre az eredõ kitérésre szeretnénk valamilyen könnyebben értelmezhetõ, zártabb formulát találni.

Némely trigonometriai fekvõtámaszok a következõkhöz vezetnek:

$$\begin{array}{c}cos(\alpha +\beta )=cos(\alpha )cos(\beta )......a )+cos(\alpha -\beta )=2 cos(\alpha )cos(\beta )\end{array}$$

A fenti két sor összeadásával kapjuk az utolsó sort. Itt már sejlik valamilyen rokonság az eredõ kitéréssel. Ez utóbbi egyenlõséget szorozzuk majd az A amplitudóval, elõbb azonban a következõ azonosításokat, vagy ha úgy tetszik, jelöléseket vezetjük be:

$$\begin{array}{c}\alpha +\beta =\omega _{1}t+\varphi _{1} ......2}-\omega _{1})/2 t+(\varphi _{2}-\varphi _{1})/2\end{array}$$

Az elsõ két sor összeadásával/kivonásával kapjuk az utóbbi két sort. Ezeket a trigonometriai varázslat végeredményébe behelyettesítve kapjuk az eredõ kitérés új formáját:

$$x(t)=\underbrace{2 A cos[(\omega _{2}-\omega _{1})/2 t......(\omega _{2}+\omega _{1})/2 t+(\varphi _{2}+\varphi _{1})/2]}$$

Érdekes speciális esetet adódik akkor, ha a két frekvencia közel esik egymáshoz.

Ekkor, egy idõben lassan váltózó amplitudójú rezgést kapunk. Ezen amplitudóváltozás körfrekvenciája . E lassan változó amplitudó (elsõ-alsó kapcsos zárójel) van modulálva a nagy(obb) frekvenciával. Az amplitudó tehát a különbségi frekvenciának megfelelõ frekvenciával 0-vá válik, illetve az amplitudók összegének megfelelõ maximumot veszi fel. A jelenséget lebegésnek nevezzük.

Ha két hangszer kissé el van hangolva, akkor a hallható lebegés alapján összhangolhatjuk õket. A jelenség rádiótechnikában is széleskörûen alkalmazott, pl. mûsorszóró mûholdak nagyfrekvenciás jeléhez hozzákevernek egy adott frekvenciájú jelet, s a kapott kisebb frekvenciájú jel az amit a 'beltéri egység' már kezelni tud.

Egyes televízióadók adásuk megkezdése elõtt tartósan 1000 Hz-es füttyöt eregetnek ki. Ha a készülékhez közel mi is fütyölni kezdünk, némileg elhangolva fütttyünk frekvenciáját, akkor a különbségi frekvenciának megfelelõ, szaporább, vagy lassabb pergést hallunk. Egyébként nagylelkûen bocsássuk meg környezetünknek, ha a televízióval való duett-fütyülés miatt hülyének néznek minket.

Ha az amplitudók nem egyenlõek, akkor a darázsderék nem fûzõdik be teljesen. Az amplitudó alkalmilag sem válik nullává, hanem a minimális és a maximális között változik. Minimális kézügyességgel igazolható, hogy az amplitudó idõfüggését megkaphatjuk (12 ) alkalmazásával, amennyiben az ott szereplõ helyébe írunk.

Figure: Két közel egyenlõ frekvenciájú rezgés öszzegzése esetén megjelenõ lebegés.

Egymásra merõleges rezgések összegzése.

Azt vizsgáljuk, hogy két, egymásra merõleges, azonos frekvenciájú rezgés eredõjeként milyen mozgás jön létre. Az eredeti, egymásra merõleges rezgések a következõk:

$$x(t)=Acos(\omega t) ......, \vec{r}(t)=x(t) \vec{i}+y(t) \vec{j}$$

Az rögtön nyilvánvaló, hogy a tömegpont a két rezgésösszetevõ frekvenciájától függetlenül az téglalapban éli le életét.

Lemondva az idõbeli leírásról, csupán a pálya alakját kívánjuk meghatározni. Az eredõ mozgás pályájának meghatározásához y/B szétcincált formájába behelyettesítjük x/A -t.

$$y/B=cos(\omega t)cos(\varphi )-sin(\omega t)sin(\varph......, y/B=x/A cos(\varphi )-\sqrt{1-(x/A)^{2}}sin(\varphi )$$

Az utóbbi formula átrendezése és négyzetre emelése után jutunk a következõ alakhoz:

$$\frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{y^{2}}{B^{2}}-2\frac{xy}{AB}cos(\varphi )=sin^{2}(\varphi )$$ (13)

Kihasználtuk a Pithagorasz tételbõl adódó összefüggést.

(13) egy origó 'középpontú' ellipszist ír le. A két rezgés közötti fáziskülönbség különbözõ értékei az eredõ mozgás speciális pályaalakjaihoz vezetnek.

Figure: Azonos frekvenciájú, merõleges rezgések összegzésének speciális esetei.

azonos fázis esetén az eredõ rezgés pályája egyenes szakasz:

$$\left( \frac{x}{A}-\frac{y}{B}\right) ^{2}=0 \Rightarrow y=\frac{B}{A}x$$

Ugyancsak egyenes szakaszt kapunk az eredõ rezgés pályájául a , ellentétes fázisú szuperpozició esetén. E két egyenes a meredekség elõjelében különbözik:

$$\left( \frac{x}{A}+\frac{y}{B}\right) ^{2}=0 \Rightarrow y=-\frac{B}{A}x$$

A és a fázisszögek ugyanazon ellipszispályához vezetnek, különbség az ellentétes körüljárási irányban adódik.

$$\frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{y^{2}}{B^{2}}=1$$

E fázisszögek egyenlõ amplitudók esetén körpályát eredményeznek. Ha tehát két azonos frekveciájú, egyenlõ amplitudójú egymásra merõleges rezgést, vagy fáziskülönbséggel összegzünk, eredõ mozgásként egyenletes körmozgást kapunk.

A rezgések szuperpoziciójával kapcsolatos jelenségek a fizika más területein is jelentkeznek, például ez utóbbi merõleges rezgésösszetevés speciális eseteinek megfelelõen beszélünk lineárisan poláros, elliptikusan és cirkulárisan poláros fényrõl.

Ha a merõlegesen szuperponált rezgések frekvenciái nem egyenlõek, akkor a kialakuló eredõ mozgás pályái igen czifrák lehetnek. Ha az x és y irányú rezgések frekvenciái racionális arányúak, akkor a pályák zárt görbék. Ezen görbék egyébként az un. Lissajous görbék. Irracionális frekvenciarány esetén a pályagörbe a teljes téglalapot ``lefedi'', olyan értelemben, hogy a mozgó tömegpont, a mozgása során a téglalap bármely pontjához tetszõlegesen közel kerül.

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ