Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató

Extenzív mennyiségek mérlegegyenlete.

Extenzív mennyiségeknek nevezzük azon fizikai mennyiségeket amelyek két fizikai rendszer egyesítésekor összeadódnak, vagyis az új rendszerre jellemzõ értékük az eredeti rendszerekre jellemzõ mennyiségek összegeként áll elõ. Ha két szobát összenyitva kapunk egy új ``fizikai rendszert'', akkor az új rendszerre jellemzõ tömeg, atomok - molekulák száma, energia, térfogat, stb az eredeti rendszerekre jellemzõ értékek összege lesz. Ezek tehát extenzív mennyiségek. Vektoriális extenziv mennyiségek esetén -ilyen például az impulzus (lendület)- az összegzés koordinátánként értendõ. A következõ laza megfogalmazás rávilágít az elnevezés eredetére : az extenzív mennyiségek a fizikai rendszer kiterjedésével (extenzitásával), azaz térfogatával arányosak.

Lényegesen eltérõ viselkedést mutatnak azonban a követekezõ un. intenziv mennyiségek: nyomás, hõmérséklet, atomok koncentrációja, sûrûség. Ezek értéke az új, egyesített rendszerre nem adható meg az eredeti részrendszerekre jellemzõ értékek összegeként, ezek természetével a termodinamikában foglalkozunk.

A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogyan és mennyivel változik egy merev, zárt felülettel határolt térfogatban valamely extenziv mennyiség értéke. Az errõl számotadó egyenlettípust mérlegegyenletnek nevezzük. Vizsgálata azért fontos, mert egyetlen csokorba fogja a fizika különbözõ területein megjelenõ igen fontos, azonos tipusú egyenleteket. Néhányat megemlítünk ezek közül:

-a tömegmegmaradást, töltésmegmaradást kifejezezõ u.n. kontinúitási egyenletek.

-az elektromágneses tér energia-mérlegegyenlete,

-folyadékok, gázok áramlását leíró Euler valamint a Navier-Stokes egyenlete (impulzus mérlegegyenletek).

-kvantummechanikai kontinuitási egyenlet, stb.

A mérlegegyenletekbe foglalt állítás nagyon egyszerûen megfogalmazható: egy \( A \) zárt felülettel határolt V térfogatba foglalt extenziv mennyiség a következõk együttes hatására változik meg:

A továbbiakban ezen állítás matematikai megfogalmazását adjuk meg, fizikai tartalma tehát már nem bõvül. A matematika forma lehetõvé teszi néhány következmény célszerûbb megfogalmazását, mint pl. Kirchoff csomóponti törvénye, folyadékok inkompresszibílitásának megfogalmazása.

Mivel tartalmilag minden extenzivre ugyanaz az egyenletforma érvényes, levezetéseinkben nem kötjük magunkat egyetlen kiválasztott extenzívhez sem. Így pl. egyenleteinkben a \( \rho \) sûrûség jelentheti:

A mérlegegyenlet matemetikai megfogalmazáshoz bevezetünk néhány fogalmat: az extenzív mennyiség árama, áramerõssége, áramsûrûsége, konvektív és konduktív áramok.

A figyelembe vett felületen idõegység alatt átáramló extenzív mennyiség az áramerõsség. Így például a tömegáram erõssége Im = dm/dt (kg/s), a q elektromos töltés áramerõssége I = dq/dt .

A \( \vec{V}(\vec{r}, t) \) áramlási térben föllépõ tömegáramot tekintjük példaként. (pl a vízvezeték csövében áramlik a víz) A \( \overrightarrow{dA} \) felületelemen létrehozott áramerõsséget az (12) ábra segítségével a követekezõk szerint számíthatjuk. Azok az anyagi részecskék, amelyek t=0 idõpillanatban a \( \overrightarrow{dA} \) felületelemen tarózkodtak, dt idõtartam alatt h =V*dt távolságot tettek meg \( \overrightarrow{V} \) irányában, mialatt a \( \overrightarrow{dA} \) felületelemen áthaladt a teljes \( dA cos(\alpha ) h \) hengertérfogat. Egyszerûbben is írhatjuk e térfogatot: \( \overrightarrow{V} \overrightarrow{dA} dt \) . Ezzel együtt természetesen a \( \overrightarrow{dA} \) felületelemen áthaladt a hengertérfogatba foglalt összes extenzív mennyiség is. Ha az extenziv mennyiség sûrûsége \( \rho =\rho (r, t) \) akkor a \( \overrightarrow{dA} \) -n idõegység alatt áthaladt tömeg, vagyis a létrehozott áramerõsség \( \rho \overrightarrow{V} \overrightarrow{dA} \) . A \( \overrightarrow{j}=\rho \overrightarrow{V} \) mennyiséget áramsûrûségnek nevezzük, az áramlás irányára merõleges egységnyi felületen idõegység alatt áthaladó extenzív mennyiségét adja meg. Ha nem egy elemi felület, hanem egy véges A felület áramát keressük, akkor az \( A \)-t lefedõ összes \( \overrightarrow{dA} \) felületelem járulékát figyelembe kell vennünk, vagyis az áramerõsség:


\begin{displaymath}I=\int _{A}\vec{j}d\vec{A}\end{displaymath}

Figure: v sebességû áramlás konvektiv árama dA felületelemen.
\resizebox*{7cm}{5cm}{\includegraphics{cnv0m.eps}}

Mivel a zárt felület felületi normálisa megállapodás szerint kifelé mutat, a befelé folyó \( \overrightarrow{j}=\rho \overrightarrow{V} \) áramsûrûség dA felületelemen létrhozott \( \vec{j}d\vec{A} \) elemi árama, \( -\vec{j}d\vec{A} \) elõjelezés esetén növeli a zárt felületen belüli össztömeget.

Az \( A \) felületet, merevnek, idõben állandónak választjuk. A mérlegegyenlet szavakban megfogalmazott tartalmának a következõ matematikai alak felel meg:


\begin{displaymath}\frac{d}{dt}\int _{V}\rho dv=-\oint _{A(V)}\rho \overrightarrow{V} \overrightarrow{dA}+\int _{V}f dv\end{displaymath} (21)

Ez az extenzív mennyiségek mérlegegyenletének integrális alakja. Mondandóját itt is, újra (meg újra) elismételjük. Az extenzív mennyiség sûrûségének tétfogati integrálja \( \int _{V}\rho dv \) , a V térfogatba foglalt össztömeget (össz extenzív menniséget) adja meg. Ennek idõderiváltja azt mondja nekünk, hogy ez a bennfoglalt mennyiség mennyivel változik idõegységenként. A jobboldal arról ad számot, hogy mi okozza ezt a változást. Itt két jelenséget lehet figyelembe vennünk, az extenzív mennyiség szállítását, és keletkezését/eltûnését. A zártfelületi integrál -ahogy azt az elõbbiekben megmutattuk- a térfogatba idõegység alatt beszállított extenzív mennyiségét adja meg, a térfogati integál pedig megadja a teljes térfogatban idõegység alatt keletkezõ extenzív mennyiségét.

Habár gyakran nem jelöljük, mindig feltesszük, hogy az integrálokban szereplõ mennyiségek általában a hely és az idõ függvényei. (pl. ''ró'' sûrûség \( \rho =\rho (\overrightarrow{r}, t) \) ).

Az (21) egyenlet baloldalán az idõszerinti differenciálás és a térfogati integálás sorrendje fölcserélhetõ mivel az integrálás merev - idõben állandó - \( V \) tartományra történik. Gauss tétele segítségével a zártfelületi integrál térfogati integrállá alakítható, így az összes integrál egyetlen térfogati integrál mögé költöztethetõ.


\begin{displaymath}\int _{V}(\frac{\partial \rho }{\partial t}+div(\rho \overrightarrow{V})-f)dv=0\end{displaymath} (22)

Az (22)-ben megfogalmazott állitás tetszõlegesen választott térfogatra fönnáll. Az integrál csak akkor adhat tetszõleges térfogatra \( 0 \)-t, ha az integrandus - nullmértékû halmaztól eltekintve - mindenütt zérus, vagyis minden pontban fönnál a következõ összefüggés:


\begin{displaymath}\frac{\partial \rho }{\partial t}+div(\rho \overrightarrow{V})=f\end{displaymath} (23)

Ez itt a mérlegegyenlet differenciális más szóval lokális vagyis a tér minden pontjára érényes megfogalmazása.

Sok esetben - mint ahogy azt itt is megfigyelhetjük - ugyanazon fizikai állításnak egy véges térrészre vonatkozó integrális ( globális ), és egy differenciális ( lokális, pontbeli ) megfogalmazási formája van. ( vagy éppen: véges idõtartamra valamint idõpontra ). A fizikai tartalmuk megegyezik, használati formájuk azonban lényegesen különbözik. Az integrális forma jelentése szemléletes, könnyen értelmezhetõ, mivel azonban a differenciál-egyenletek megoldási módszerei kidolgozottabbak, a konkrét számolási eljárások szinte kizárólag a differenciális alakot alkalmazzák.

Vegyük észre, hogy az itt elkövett ''levezetés'', nem ''levezetés'' a szónak abban az értelmében, hogy megengedett logikai (matematikai) lépésekkel már igazolt, még alapvetõbb igazságokra, esetleg axiómákra vezetjük vissza állításunkat. Itt egyszerûen matematikai megfogalmazást -matematikai formát- adtunk a tartalmilag eleve elfogadott ``triviális'' állításnak.


Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató