Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató

Kinematika

A vizsgált tömegpont helyzetét a koordinátarendszer kezdõpontjából - az origóból - az illetõ ponthoz húzott helyvektorral határozzuk meg. A helyvektort, így a tömegpont helyzetét is, három skaláris adattal, -koordinátákkal - adhatjuk meg. A helyvektor szokásos írásmódjai:

$$\vec{r}(t)=\{x(t), y(t), z(t)\}=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}$$

Az x, y és z skaláris mennyiségeket koordinátáknak, az vagy éppen a vektorokat pedig komponenseknek nevezzük. Ezek az elnevezési szabályok más típusú vektoroknál is fönnálnak, így beszélhetünk az erõ x koordinátájáról ( skalár ) vagy valamilyen sebességkomponensrõl ( amely tehát vektor ).

A helyvektor végpontja követi a tömegpont mozgását, vagyis a helyvektor, valamint a koordináták az idõ függvényei lesznek. Ezt az idõfüggést mindig fölteszszük, habár az egyszerûbb írásmód kedvéért esetleg ezt nem is jelöljük.

Mozgástörvénynek nevezzük a tömegpont mozgását leíró függvényt. A tömegpont mozgása során egy térgörbét ír le, ezt nevezzük a tömegpont pályájá nak.

Ha a tömegpont (lásd az 1-es rajzot). a idõpillanatban az helyvektor által meghatározott P1 pontban tartózkodott (.. ponton haladt át ) és idõtartammal késõbb, vagyis a idõpontban a P2 pontban, akkor azt mondjuk, hogy a tömegpont idõtartam alatti elmozdulása .

Ha tömegpont egyenes mentén mozog -legyen ez az x tengely- akkor helyzetét egyetlen adat, az x koordinátája meghatározza ezért ezt 1 dimenziós (1D) mozgásnak nevezzük. Annak jellemzésére, hogy a tömegpont milyen gyorsan változtatja helyzetét bevezetünk egy új fizikai mennyiséget -a sebességet- a helykordináta változásának, és a változáshoz szükséges idõtartam hányadosaként.

$$\widehat{v}_{x}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

Ez a idõtartamta vonatkozó átlagsebesség (itt vx kalapkája az átlagot jelöli) , pillanatnyi sebességet akkor kapunk, ha helykoordináta idõszerinti deriváltját -a fenti differenciakifejezés határértékét képezzük.

$$v_{x}(t)=\begin{array}{c}lim\\\Delta t\rightarrow 0\end{array}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}$$

A sebesség egysége a fenti értelmezés alapján , ugyanis az egységekkel ugyanazok a mûveletek végezhetõk el ami a magukkal a fizikai mennyiségekkel.

Figure: Tömegpont kinematikájának alapfogalmai

Térbeli mozgás esetén a korábban definiált elmozdulásvektort osztjuk az elmozduláshoz szükséges idõtartammal: , ennek a határátmenetre adódó határértéke a sebességvektor. A sebességvektor tehát a helyvektor idõszerinti elsõ deriváltja. Ez a sebesség - a szerkesztésbõl látható - a pálya érintõje irányába mutat.

$$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$$

A sebesség idõbeli változását -változási sebességét- a gyorsulással jellemezzük, ezt a helyvektor idõszerinti második deriváltjaként állíthatjuk elõ.

$$\overrightarrow{a}=\frac{d^{2}\overrightarrow{r}}{d t^{2}}$$

A gyorsulás arról ad tájékoztatást, hogy a sebesség másodpercenként hány méter /sec-al változik meg, s egysége a fentiek alapján . Gyorsulás akkor is van, ha csupán a sebesség iránya változik meg változatlan sebességnagyság mellett.

A fenti vektoregyenlõségek általában három skaláris -a koordinátákra felírt- egyenlõséggel egyenértékûek. EZ D ESCARTES koordinátarendszer esetén a követekezõket jelenti.

$$\vec{v}=\frac{d}{dt} (x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k})......}{dt}, v_{y}=\frac{dy}{dt}, v_{z}=\frac{dz}{dt}$$

Ugyanígy darabolható föl a gyorsulásvektor is gyorsuláskoordinátákra.

Talán már Newton óta szokás az idõderiváltakat, a derivált mennyiség felé rakott pöttyel jelölni. Igy aztán számos, jelentésében azonos, de jelölésben különbözõ forma adható meg ugyanazon fizikai mennyiségre. Álljon itt intõ példaként a gyorsulás x koorinátájának néhány formája :

$$a_{x}\equiv \dot{v}_{x}\equiv \ddot{x}\equiv d^{2}x/dt^{2}\equiv dv_{x}/dt$$

Harmadik deriváltat már nem szokás keresni, ennek pedig az az oka, hogy a tömegpont, környezetével való kölcsönhatását - ezt késõbb erõnek nevezzük - Newton törvénye a második deriválttal kapcsolja össze, így a harmadik deriváltra már nincs is szükség (klasszikus mechanikában).

Térbeli mozgásra a sebességvektor (a pálya érintõ irányú vektora), a gyorsulásvektor, valamint ezen vektorok abszolut értékei egyszerûen megadhatók.

$$v(t)\equiv \left\vert \overrightarrow{v}(t)\right\vert =\sqrt{v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}+v_{z}(t)^{2}}$$

A fenti sebesség-abszolutértéket pályasebességnek nevezzük (ugyanis ismerünk más sebességtípusokat is, pl szögsebesség, területi sebesség).

Az (1) ábra szerint a ívelem hosszát a húr hosszával közelítjük. A sebességdefinició átrendezése , valamint a Pithagorasz tétele alapján

$$\Delta s=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}=\sqrt{v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}+v_{z}(t)^{2}} \Delta t$$

A   idõpontok között megtett út tehát az L pályagörbe P1, P2 pontok közé esõ pályaszakaszának ívhossza:

$$s(t_{o}, t_{1})=\int ^{t_{1}}_{t_{o}}\sqrt{v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}+v_{z}(t)^{2}}dt$$

A mozgásörvénybõl idõszerinti differenciálással, más szóval idõderiválással következtettünk a sebességre, gyorsulásra.

$$x(t) \rightarrow v_{x}(t) \rightarrow a_{x}(t)$$

A pontmechanika egy másik fontos feladatcsoportja a derivált ismeretében állítja elõ a mozgástörvényt. Ezt az idõ szerinti differenciálás ( deriválás ) inverz mûveletével, azaz integrálással követhetjük el.

Ha az x helykoordináta második deriváltja, azaz a gyorsulás x koordinátája , mint az idõ függvénye ismert, akkor az x(t) mozgástörvényt e második derivált idõszerinti integrálásával kaphatjuk vissza. A második derivált kétszeres idõintegrált igényel. Az elsõ idõszerinti integrálás a sebességkoordinátát szolgáltatja:

$$\frac{dv_{x}}{dt}=a_{x}(t) /\int dt$$

A határozatlan integrál egy integrációs állandó megjelenéséhez vezet.

Az eredmény:    

A C1 integrációs állandó meghatározásához ismernem kell a sebességkoordináta valamely to idõpillanathoz tartozó értékét. Ezt az ismert, az adot feladat által elõírt értéket nevezzük az adott sebességkoordinátára vonatkozó kezdeti feltételnek. Kezdeti feltétel Vx -re egyértelmûvé teszi a C1 integrációs állandó értékét. Másrészt, az integrációs állandó teszi lehetõvé a megoldás tetszõleges kezdeti feltételekhez történõ hozzávarrását. A következõ lépés hasonlóan történik:

$$\dot{x}=\frac{dx}{dt}=v_{x}(t) /\int dt$$

Ebbõl kapjuk az x koordinátát   . Mivel a második deriváltból következtettünk az eredeti függvényre, azaz a ``0''-ik deriváltra, összesen koordinátánként kettõ integrációs állandó jelenik meg, térbeli (3D-s) mozgásnál 6 db.

A gyorsulásból csak azon ritka esetekben tudjuk ilyen egyszerû integrálásokkal meghatározni a mozgástörvényt, ha a gyorsulás csak az idõtõl függ. Ha a tömegpont gyorsulása a helytõl (pl. az x koordinátától), vagy a sebességtõl ( is ) függ, akkor a fenti módszer nem alkalmazható. Ezen esetekben egyszerû integrálás helyett, differenciálegyenlet megoldás vezet célhoz.

Síkpolár és a henger koordinátarendszer

Egyes fizikai jelenségek leírása jelentõsen egyszerûsödik, ha a jelenség szimmetriáját tükrözõ koordinátarendszert alkalmazunk. Alkalmanként a a leíráshoz szükséges változók száma, más szóval a feladvány dimenziószáma csökken. Például Descartes rendszerben a körmozgás leírásához x(t) és y(t) függvények kellenek, síkpolár koordinátarendszerben pedig ugyanehhez egyetlen függvény, a ismerete is elegendõ.

A továbbiakban tömegpont sebesség, és gyorsulás kifejezéseit adjuk meg síkpolár, majd hengerkoordináta rendszerben.

Síkpolár koordinátarendszerben a tömegpontok helyzetét x, y koordináták helyett két másik adattal adjuk meg. Ezek egyike az r, a pont origótól mért távolsága, a másik, a helyvektor és egy önkényesen fölvett irány által bezárt szög. Ez az önkényes irány rendszerint a segédrendszerként majdnem mindig fölrajzolt Descaretes koordinátarendszer x tengelye. Megállapodás szerint a szög az óra járásával ellentétes irányban növekszik. Ahhoz, hogy az egyik koordinátarendszerben felírt összefüggéseinket a másikra át tudjuk írni, ismernünk kell a két rendszer koordinátái közötti transzformációt. Ezek a transzformációs szabályok az ( 2) ábrából kiolvashatók.

Figure: Vektorok síkpolár koordinátarendszerben.

$$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \quad r\geq 0, x=r cos(\varphi ) y=r sin(\varphi )$$

A értékét a következõkbõl nyerhetjük:

A síkpolár koordináta rendszer (lásd az 2 ábrát ) két egymásra merõleges egységvektort alkalmaz, ezek az irányába mutató az un. radiális egységvektor, és az arra merõleges . A továbbiakban, az egyszerûbb írásmód céljából az egységvektorok vektorjeleit elhagyjuk.

A helyvektor tehát így adható meg:  .

A sebesség ennek idõszerinti elsõ deriváltja:   

$$\vec{v}=\dot{r}e_{r}+r\dot{e}_{r}$$ (1)

Az egységvektorok, habár hosszúságukat megtartva ugyan egységvektorok maradnak, de mert irányuk követi a pont mozgását, idõben nem tekinthetõk állandónak. Abból a ténybõl, hogy az egységvektor hossza állandó az következik, hogy a derivált és az eredeti egységvektor merõlegesek:

$$(e_{r} e_{r})=1 \: d/dt (e_{r}...... \Rightarrow e_{r} \bot \dot{e}_{r}$$

Az egységvektor deriváltja tehát irányú, igy alakban írható, ahol egy skalár együtthatót képvisel.

Ha a koordinátát megnöveljük idõtartam alatt -re, akkor az egységvektor végpontok az egységkörön ívhossznyival kerülnek arrébb, s ahogy az szokásos, az egységvektor végpontok elmozdulását képviselõ húrt helyettesítjük a vele közelítõleg egyenlõ ívvel. Ez a közelítés annál pontosabb, minél kisebb a szóbanforgó szögnövekmény. Az eddigieket összeírva adódik:

$$\frac{\Delta e_{r}}{\Delta t}\cong \frac{\Delta s}{\Delta t}e_{\varphi }=\frac{\Delta \varphi }{\Delta t}e_{\varphi }$$

Látható, hogy az növekményének geometriája a -os elforgatástól eltekintve azonos az geometriájával, így az -re kapott eredmények különösebb lelkiélet nélkül átírhatók -re.

A számtanórán tanult rituális ``lim'' után kapjuk alábbi formulákat.

   Az utóbbi negatív elõjel eredete a rajzból nyilvánvaló, a szög növekedtével  növekménye irányába mutat.

Figure: Egységvektor elfordulása

Itt megjelent egy új mennyiség, a szögsebesség , amely a helyvektor szögelfordulása, és az elforduláshoz szükséges idõtartam hányadosaként értelmeztünk. ( pontosabban ennek határértékeként ). adja meg az idõegységenként bekövetkezõ, radiánban mért szögelfordulást. Ha a szögsebesség állandó, akkor mindegy, hogy melyik idõpillanatban és mekkora szögnövekményt alkalmazunk a szögsebesség meghatározásához. Ilyen esetekben egy teljes körülfordulást és a hozzá szükséges T idõtartam hányadosát tekintjük, vagyis . Ez mellesleg azonos a reáltanodában tanult szögsebességgel. Mivel T idõ alatt a pont visszajutott ( legalábbis szempontjából ) eredeti helyzetébe, ilyen periódusidõvel ismétlõdhet a mozgás. Az 1 s (a mûszaki gyakorlatban 1 min) alatt lezajló körülfordulások számát fordulatszámnak nevezzük. Ha 1 s alatt n azonos idõtartamú esemény játszódik le, akkor egy esemény idõtartama T=1/n.

Az egységvektor deriváltak ismeretében a sebesség és gyorsulás kifejezései már automatikusan adódnak. kifejezését behelyettesítve (1) kapjuk a sebesség polárkoordinátarendszerbeli formáját:

$$\vec{v}=\dot{r} e_{r}+r \dot{\varphi }e_{\varphi }$$

Az ábrán bejelölt vektorkomponensek megfelelõi:    alkalmazva és deriváltak korábbi kifejezéseit kapjuk:

$$\vec{a}=(\ddot{r}-r\dot{\varphi }^{2})e_{r}+(2\dot{r}\dot{\varphi }+r\ddot{\varphi })e_{\varphi }$$

Az egységvektor deriváltjainak megjelenése bonyolítja a sebesség és gyorsulás kifejezéseit és némileg az értelmezésüket is. Vegyük észre, hogy DESCARTES féle koordinátarendszerben a gyorsulás/sebesség vektor koordinátái és a koordináta deriviáltak megegyeznek, azaz az jelenti egyrészt az koordináta második deriváltját, de egyúttal a gyorsulás x koordinátáját is. Síkpolár koordinátarendszernél ( henger- és szférikus- vagy más néven gömbi koordinátarendszereknél is ) szétválik a koordináta derivált és helyvektor derivált megfelelõ koordinátájának megjelenési formája. Ennél az koordináták deriváltjai , illetve , azonban a helyvektor elsõ, illetve második deriváltjának (tehát a sebesség, illetve gyorsulásvektorok) (radiális), illetve -nek megfelelõ koordinátái , illetve . Összefoglalva:

a kiszemelt koordináta
a koordináta második deriváltja
a gyorsulás megfelelõ koordinátája

Az egységvektorok merõlegessége folytán a vektorhosszakra a Pithagorasz tétel alkalmazható, azaz a sebesség és a gyorsulás nagyságát ( abszolut-értékeit ) ismert módon számíthatjuk pl. 

A fentiek alapján könnyen felidézhetjük az egyenletes körmozgásról tanultakat. Kör esetén , az állandó szögsebesség jelölése . Ezek alkalmazásával kapjuk a körhöz tangenciális sebességet és radiális un. centripetális gyorsulást:

A hengerkoordináta rendszert úgy kapjuk a sikpolár koordinátarendszerbõl, hogy a sikpolár origójába, a koordinátarendszer síkjára merõlegesen odarakunk egy idõben állandó irányítású egységvektort ( így fogjuk õt jelölni ) Ebbe az irányba mérjük a z kordináta értékeit. Az egyértelmûbb jelölésmód kedvéért a síkbeli rendszer r koordinátáját átnevezzük a következõképpen . Intenzívebb lelkiélet nélkül írhatjuk a hengerkoordinátrendszerbeli sebesség, gyorsuláskifejezéseket.

$$\begin{eqnarray*}\vec{r} & = & \rho e_{\rho }+z e_{z}\\\vec{v} & = & \do......dot{\varphi }+\rho \ddot{\varphi })e_{\varphi }+\ddot{z} e_{z}\end{eqnarray*}$$

A síkpolár koordinátarendszert (a henger, s gömbi koordinátarendszert is) un. görbevonalú koordinátarendszernek nevezzük. Az elnevezés onnan ered, hogy koordináta paramétervonalai között vannak görbevonalúak, Ez azt jelenti, hogy amíg a DESCARTES koordinátarendszerben, ha bármely két koordinátát rögzítjük (pl. x=C1, y=C1) és a harmadik szabadon fut (pl. z), akkor mindig egyeneseket kapunk, azonban síkpolár koordinátarendszerben rögzített r sugár és szabadon változó esetén köríveket.

Természetes koordinátarendszer

A mozgás némely sajátságait elõnyösen tanulmányozhatjuk egy, a mozgó tömegponthoz kötött, a tömegponttal együttmozgó koordináta rendszerben. Ebben a koordinátarendszerben tehát a helyvektor nem is jelenik meg.

A koordinátarendszer egységvektorait a mozgás kinematikai adatai alpján állítjuk elõ. Tudjuk, hogy a sebességvektor a pályagörbe érintõje. Ez alapján definiáljuk a t tangenciális egységvektort a következõk szerint:

$$\vec{t}=\vec{v}/v vagy \vec{v}=v\vec{t}$$

A sebességvektort a sebesség abszolutértékével osztva kapjuk a sebességirányú egységvektort, amely egyúttal a pályagörbe érintõirányú ( t azaz tangenciális) egységvektora. A jelölések egyszerûbb használata céljából a továbbiakban t-t, a bevezetendõ n normális és b binormális egységvektorokat vektorjel nélkül használjuk.

Figure: A természetes koordinátarendszer

egységvektorai.

A gyorsulást a sebességvektor idõszerinti differenciálásával kapjuk

$$\vec{a}=\dot{v} t+v \dot{t}$$

A t egységvektor hossza idõben állandó, idõbeli változása az egységvektor elfordulásához kötõdik. Mint ahogy ezt a síkpolár koordinátarendszer er radiális egységvektora deriválásakor láttuk, az egységvektor deriváltja merõleges az erdeti egységvektorra. A t tangenciális egységvektor deriváltjának irányába mutató n egységvektort érthetõ okokból normális vektornak nevezzük.

$$\dot{t}=\dot{\varphi } n=v/R n$$

Ezen n vektor a pillanatnyi simulókör középpontja felé mutat, s a deriváltban megjelenõ szögsebességet -a körmozgásnál megismert alpján - V/R formájában adjuk meg. Itt R a görbe görbületi sugara, vagy másképpen a simulókör sugara. Ezeket visszaírva kapjuk

$$\vec{a}=\dot{v} t+v \dot{\varphi } t=\dot{v} t+v^{2}/R n$$

Érdemes megjegyeznünk, hogy az 1/R mennyiséget görbületnek nevezik.

A gyorsulás elsõ kifejezése ad számot a sebesség nagyságának megváltozásáról, a második az irányváltozással kapcsolatos gyorsulásról.

Binormális egységvektornak nevezzük a vektorszorzással definiált egységvektort.

E három, páronként merõleges egységvektor alkotta rendszer együtt mozog a vizsgált ponttal. Erre utal elnevezése is : kisérõ triéder, vagy kisérõ háromél nevet viselik.

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató