Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató

Monokromatikus síkhullám homogén izotróp közegben.

Hullámok a fizika több területén is fontos szerepet játszanak. Hullámjelenségek körébe tartoznak például a hanghullámok, elektromágneses hullámok (fényhullámok, rádióhullámok, stb.), egyéb mechanika hullámok, pl. földrengéshullámok. Kvantummechanikában és csatolt részeiben egy részecske hullámfüggvénye ugyanolyan központi fogalom, mint a pontmechanikában a tömegpont fogalma.

A hullámterjedés során a közegben - amely elektromágneses hullámok esetén lehet vákuum is - valamilyen fizikai állapot és számos fizikai mennyiség is terjed (pl energia, impulzus). Hogy világosan elkülöníthessük a közeg (anyagi részecskéinek) sebességét és a közegben haladó fizikai állapot (-változás) haladási sebességét, egy nagyon egyszerû példát vizsgálunk. Képzeljünk el egy piros lámpa elõtt várakozó hosszú kocsisort. Amikor a lámpa zöldre vált, az elsõ kocsi vezetõje a gázra lép és elindul, de ebben a pillanatban a második, harmadik, .. kocsi vezetõje még nem teheti ugyanezt. Némi idõ eltelte után a képünk a következõ: a kocsior eleje már elõrehaladt, a vége még áll, s valahol közöttük találjuk azt az ``állapotot'' amely a gázpedálra lépést jelenti. Ez az állapot a kocsisoron végigvonul hátrafelé, miközben (hullámunk terjedési közege) a kocsisor egy része még áll, másik része pedig elõremozog. Ezt a fajta hullámot mellesleg lökéshullámnak nevezhetjük. Élesen szétválik tehát a közeget alkotó anyagi részecskék sebessége és a közegben terjedõ állapot haladási sebessége.

A hullámokkal kapcsolatos alapfogalmakat a legegyszerûbb un. monokromatikus sikhullámok kapcsán vezetjük be. Elõször is föltesszük, hogy a hullám homogén, izotróp közegben halad.

A homogenitás azt jelenti, hogy a közeg tulajdonságai nem függenek a helytõl, vagyis a tér minden pontjában ugyanazok a jellemzõi. Az elõbbi példánknál maradva, ha a személyautók sorát egy hosszabb traktorsor követné ebben nyilván megváltozna a ``gázra-taposás'' közegbeli sebessége. Ez utóbbi eset az inhomogén közegre példa amikoris a tulajdonságok függenek a helykoordinátáktól.

A hullámjelenség egyébként tipikus példája az un. kollektív jelenségeknek.

Izotróp közegben minden irány a fizikai viselkedés szempontjából egyenértékû, nincsenek kitüntetett irányok. Izotróp közegek, a folyadékok, gázok, üvegek, bár a felsorolt közegekbe külsõ terek alkalmazásával anizotrópia vihetõ (pl folyadékkristályok). Anizotróp közegekben a fizikai tulajdonságok irányfüggõek. Kristályokban például -melyek alapvetõen anizotróp tulajdonságúak - a kristálytani tengelyekhez viszonyított különbözõ irányokba terjedõ fényhullámok sebessége általában különbözõ. Megjegyezzük, hogy a közeg inhomogenitása egyúttal anizotrópiát is visz a közegbe.

Monokromatikus síkhullámot vizsgálunk. Komplex írásmódot használva megállapodhatunk abban, hogy a komplex mennyiség valós része írja le a fizikai mennyiségünket: ( \( e^{i\beta }=cos(\beta )+i sin(\beta ) \) ). Alkalomtól függõen a komplex vagy a valós változat használható. Monokromatikus síkhullámot leíró függvény alakja a következõ:


\begin{displaymath}\xi (\vec{r},t)=\xi _{o}e^{i(\omega t-\vec{k} \vec{r}+\......ec{r},t)=\xi _{o}\cos (\omega t-\vec{k} \vec{r}+\varphi )\end{displaymath} (30)

Nem kötjük magunkat egyetlen speciális fizikai mennyiséghez sem, mivel számos különbözõ fizikai mennyiség térbeli, idõbeli viselkedését is ugyanezen forma írhatja le. A \( \xi \) mennyiség jelentheti hanghullám esetében a sûrûségperturbációt (az állandó és nagyértékû \( \rho _{o} \) alapsûrûségre ráültetett igen kicsiny \( \xi \equiv \rho ' \) zavart), a nyomásperturbációt vagy éppen elektromágneses hullám bármely tartozékát (Ex, Hy, stb). \( \xi _{o} \) jelenti a \( \xi \) mennyiség maximális értékét, vagyis a hullám amplitudóját.

A \( \Phi (\overrightarrow{r}, t)=\omega t-\vec{k} \vec{r}+\varphi \) mennyiséget a hullám fázisának nevezzük. Ennek értékétõl függ a fizikai mennyiségek értéke . Az \( \omega \) és a \( \varphi \) funkciói a rezgõmozgásnál megismertekkel azonos, \( \omega \) a hullám körfrekvenciája, \( \varphi \) pedig a kezdõfázisa.

A fényhullám színét a frekvenciája határozza meg, ezért azokat a hullámokat amelyben csak egyetlen frekvencia van jelen monokromatikus (egyszínû) hullámnak nevezzük, még akkor is, ha nem fényhullámról van szó. Az a tény, hogy egyetlen frekvenciát tartalmazó hullámot vizsgálunk, túlságosan is beszûkûlt dolognak tûnhet. Tudjuk azonban a Fourier sorok elméletébõl azt, hogy különbözõ frekvenciájú monokromatikus hullámokból meglehetõsen széles függvényosztály építhetõ fel. Így korántsem jelenti az általánosság túlzott megszorítását a monokromatikus hullámok vizsgálata.

A \( \overrightarrow{k} \) mennyiséget, mint egyébként bármely vektort felírhatjuk a saját irányába mutató \( \overrightarrow{n} \) egységvektor, és a vektor k hosszúságának szorzataként. \( \overrightarrow{k}=k \overrightarrow{n} \) .

Most azt vizsgáljuk, hogy egy rögzített \( t^{o} \) idõpontban az azonos \( \Phi _{0} \) fázisú pontok milyen geometriai alakzat mentén helyezkednek el. \( \omega t^{o}-k \vec{n} \vec{r}+\varphi =\Phi _{0} \) .


\begin{displaymath}\vec{n} \vec{r}=(\omega t^{o}+\varphi -\Phi _{0})/k=konst\end{displaymath}

Ez az \( \vec{n} \vec{r}=konst \) formula a sík Hesse-féle normálalakja, vagyis az állandó fázisú pontok síkot alkotnak, ezért nevezik az (30) alakú hullámot síkhullámnak. Az összefüggésben \( \overrightarrow{n} \) a konstans fázisú (sík) felület nomál-egység-vektora.

Ezen (30) sikhullám idõben is és térben is periódikus jelenség. Az idõbeli periódicitással kapcsolatos fogalmakat a harmónikus rezgõmozgásnál már részleteztük. Valójában minden, az idõbeli periódicitással kapcsolatos fogalom különösebb nehézség nélkül átvihetõ a térbeli periódicitásra is.

A fázisfelületi merõleges irányában mért azon távolság, amelyhez a fázis \( 2\pi \) növekménye tartozik, a hullámhossz. Ez tehát a térbeli periódicitást jellemzõ periódushossz -a T periódusidõ térbeli megfelelõje- szokásos jelölése \( \lambda \). Van egy eredeti fázisértékünk: \( \omega t^{o}-k \vec{n} \vec{r}+\varphi =\Phi _{o} \) , valamint az a fázisérték amely az \( \overrightarrow{n} \) irányában felmért \( \lambda \) távolságban levõ felületen érvényes \( \omega t^{o}-k \vec{n} (\vec{r}+\lambda \overrightarrow{n})+\varphi =\Phi _{o}+2\pi \) . E két kifejezés különbsége a következõkhöz vezet: \( k \lambda =2\pi \) , amelybõl kapjuk \( \lambda =2\pi /k \) . Az \( 1/\lambda \) mennyiség az 1 m hosszra jutó hullámok számát jelenti. Ez pontos térbeli megfelelõje az idõbeli periódicitás kapcsán bevezetett frekvenciának. Ennek \( 2\pi \)-szerese a körhullámszám, \( k=2\pi /\lambda \) amelyet alkalmanként a fázisfelület normálisa irányába mutató vektorként kezelünk \( \overrightarrow{k}=k \overrightarrow{n} \) .

A következõkben a fázisfelület ( amely mentén a fázis egy meghatározott értéket vesz föl ) mozgását vizsgáljuk. Valamely idõponthoz \( \omega t^{o}-k \vec{n} \vec{r}+\varphi =\Phi _{o} \) fázisérték tartozik. Azt vizsgáljuk, ha az idõ \( t^{o} \)-ról \( t^{o}+\Delta t \) -re változik mennyivel kell a fázisfelület normálisa irányába elmozdulnunk, hogy a \( \Phi _{o} \) fázis értéke ne változzon: \( \omega (t^{o}+\Delta t)-k \vec{n} (\vec{r}+\Delta s\overrightarrow{n})+\varphi =\Phi _{o} \) . Ezzel mintegy rátapadtunk az adott fázisú felületre, amely tehát \( \Delta t \) idõtartam alatt \( \Delta s \) -el mozdult el a normális irányába. A fázisfelület saját síkjában való elcsúszása nem jelent fizikailag új poziciót, ezért tekintjük mindig csak a normális irányú elmozdulásokat. Az eredeti és az új fáziskifejezések összevetése alpján kapjuk \( \omega \Delta t-k \Delta s=0 \) . Ebben tehát \( \Delta s \) jelenti a fázisfelület \( \Delta t \) idõtartam alatti elmozdulását. A fázisfelület \( c_{f} \) sebessége tehát:


\begin{displaymath}c_{f}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{\omega }{k}\end{displaymath}

Figyelembe véve, hogy \( \omega =2\pi f \) valamint azt, hogy \( k=2\pi /\lambda \) kapjuk a \( c_{f}=\lambda *f \) közismertebb változatot.

A monokromatikus síkhullám komplex írásmódja varázslatos egyszerûsítéseket tesz lehetõvé matematikai mûveleteinkben, némely differenciálási mûveletek algebrai mûveletekkel helyettesíthetõk. Könnyen ellenõrizhetõ, hogy a síkhullám komplex formájára \( \partial \xi /\partial t=i\omega \xi \) vagyis \( \partial /\partial t \: \Rightarrow i\omega \) , amely azt jelenti, hogy az idõszerinti deriválás mûvelete egyszerû algebrai szorzássá egyszerûsödik.

A helykoordináták szerinti deriválások még több lehetõséget kínálnak. Figyelembevéve az exponensben szereplõ skaláris szorzás kifejtését \( \vec{k} \vec{r}=k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z \) az x koordináta szerint parci. deriválás hatása a monokromatikus síkhullám komplex alakjára így írható:


\begin{displaymath}\frac{\partial \xi }{\partial x}=-ik_{x} \xi _{o}e^{i(\omega t-\vec{k} \vec{r}+\varphi )}=-ik_{x}\xi \end{displaymath}

Tehát \( \partial /\partial x \: \Rightarrow -ik_{x} \) . A többi, y és z koordinátákra hasonló eredményeket kapunk. Ezek összefoglalásával a Nabla operátor a következõképpen helyettesíthetõ:


\begin{displaymath}\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\vec{e}_{1}+\frac{\parti......{x}\vec{e}_{1}-ik_{y}\vec{e}_{2}-ik_{z}\vec{e}_{3}=-i \vec{k}\end{displaymath}

Vagyis röviden \( \nabla =-i \vec{k} \) . A jelölések egyértelmûsége céljából itt az \( \vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \) .. egységvektor jelöléseket alkalmaztuk a közismertebb \( \vec{i}, \vec{j}, \) .. jelölések helyett.

Ha a síkhullám által leírt fizikai mennyiség vektormennyiség -pl. elmozdulás, sebesség, elektromos mezõ-, akkor a fizikai viselkedés szempontjából lényeges kérdés az, hogy ez a vektormennyiség milyen szöget zár be a fázissebesség irányába mutató fázisfelületi egységvektorral (azaz a hullám haladási irányával).

Longitudinális hullámban a hullám \( \vec{n} \) haladási iránya, és a leírt fizikai mennyiség \( \overrightarrow{\xi }_{o} \) amplitudó-vektora párhuzamos. A számtanórán tanultak szerint e két vektor párhuzamosságát vektorszorzattal a következõképen fogalmazhatjuk meg:    \( \vec{n}\times \overrightarrow{\xi }_{o}=0 \) . Ha egy fémrúd (tekercsrúgó) végére a rúd tengelye irányában ráütünk, akkor a rúdban longitudinális kompressziós hullám halad végig. Longitudinális hullám például a hang is. E hullámban a térfogatelemek eredeti poziciójuk környezetében rezgéseket végeznek, s e rezgések amplitudóvektora a hangullám terjedési irányával párhuzamosak.

Transzverzális a hullám akkor, ha a leírt fizikai mennyiség \( \overrightarrow{\xi }_{o} \) amplitudó-vektora merõleges az \( \vec{n} \) haladási irányra, vagyis az amplitudóvektor a konstans fázis síkjában fekszik. E merõlegességet a következõ skaláris szorzattal fejezzük ki: \( (\vec{n} \overrightarrow{\xi }_{o})=0 \) . Ha a transzverzális hullámban a terjedési irányra merõleges irányok közül csak egy kiválasztott irányú amplitudójú hullám van jelen, akkor ezt a hullámot lineárisan polarizált hullámnak nevezzük. Ekkor az \( \vec{n}, \overrightarrow{\xi }_{o} \) vektorok által meghatározott síkot a polarizáció síkjának nevezzük. Két, egymásra merõleges polarizációs síkú, egyirányban terjedõ, azonos frekvenciájú hullám szuperpoziciója elliptikusan (cikulárisan) poláros hullámot eredményez. Transzverzális hullámok az elektromágneses hullámok, így tehát a fény is az. Ha egy hosszabb kötélre ráütünk, akkor ez a ``zavar'' a kötél mindkét irányában továbbterjed. A kötéldarabkák eredeti nyugalmi helyzetüktõl mért kitérése merõleges a kötélre, amely mellesleg a hullám egyedül lehetséges haladási irányát adja. Ez a hullám tehát transzverzális hullám.

Ezen osztályozási szempontok látszólag értelmetlenek skalár hullámoknál, mint pl. nyomás vagy sûrûség térbeli/idõbeli viselkedését leíró hullámok esetén, azonban skalár mennyiség gradiense máris egy a skalárhullámhoz társuló vektor hullámot hoz elõ.

Rugalmas, összenyomható szilárd közegben (pl fémek, Föld szilárd köpenye) mind transzverzális, mind pedig longitudinális mechanikai hullámok terjedhetnek. Mivel e két hullámtipus eltérö mechanizmus alapján mûködik, fázissebességük is különbözõ. Még ha sikerül is esetleg valamelyik hullámtipust tisztán ``útnak'' ereszteni, a határfelületeken történõ visszaverõdések, rendszerint kevert hullámot eredményeznek.

Most azt igyekszünk tisztázni, hogy a fizikai vektorterek (mezõk) milyen tulajdonságai alapján tudjuk eldönteni, hogy a szóbanforgó fizikai mezõ ''hulláma'' transzverzális, vagy longitudinális-e. Azt korábban megmutattuk, hogy az (30) tipusú síkhullám esetén a Nabla vektor mint mûveleti utasítás a hullámszám vektorral helyettesíthetõ:  \( \nabla =-i \vec{k} \) . Emlékezzünk arra, hogy \( \vec{k}=k \vec{n} \) alakban is használható. Forrásmentes \( \overrightarrow{\xi } \) vektortérre a következõket kapjuk:


\begin{displaymath}div \overrightarrow{\xi }\equiv (\nabla \overrightarrow...... \Rightarrow (\vec{n} \overrightarrow{\xi })=0\end{displaymath}

A forrásmentesség tehát a hullám transzverzalitását jelenti. Ha a div nem nulla, akkor azt is láthatjuk, hogy a hullám longitudinális összetevõje a forráserõsséggel arányos.

Örvénymentes vektortér esetére kapjuk:


\begin{displaymath}rot(\overrightarrow{\xi })\equiv [\nabla \times \overrightar...... (\vec{n} \times \overrightarrow{\xi })=0\end{displaymath}

Ez azt jelenti, hogy a vektortér n-re merõleges összetevõje nulla, a hullám tehát longitudinális.


Alfejezetek:
Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató