Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató

Linearizált egyenletek, a hullámegyenlet.

Gázok, ideális folyadékok mozgását, állapotát öt darab helytõl és idõtõl függõ függvénnyel írjuk le. A nyomás, a sûrûség és a sebességkoordináta függvények meghatározásához a következõ öt nemlineáris egyenlet áll rendelkezésünkre. Az elsõ sor az Euler egyenletet tartalmazza, ez egyszerûen szétdarabolható három skaláris egyenletté. A második sor -amelyiket tehát a negyedik egyenletnek nevezhetjük- a tömegmegmaradást kifejezõ kontinúitási egyenlet, s a harmadik sor, az adiabatikus állapotegyenletet tartalmazza gázokra.

$$\rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\rho (\vec{v} \nabla ) \vec{v}=-grad(p)+\rho \vec{f}$$

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+div(\rho \vec{v})=0$$

$$p/\rho ^{\kappa }=p_{o}/\rho _{o}^{\kappa }$$ (31)

Egyenleteinkbe igazi szörnyûséget a nemlineáris kifejezések hoznak be. Ilyenek mint pl. a ezekben ugyanis az ismeretlen függvények (és származékaik) szorzatai jelennek meg. E nemlinaritások számos bajnak okozói. Egyik gond velük az, hogy kevésbé értünk hozzájuk, a másik pedig az, hogy a nemlinearitások igazán különös viselkedést okoznak a fizikai rendszerben. Alkalmas körülmények között kaotikus, nemdeterminisztikus viselkedésformákhoz, vezetnek. Ezért, - hacsak nem célzottan a nemlinearitásokat vizsgálják - ki hogy tud, igyekszik megszabadulni tõlük. Egy ilyen módszer az egyenletek linearizálása, a továbbiakban tehát ezzel foglalkozunk. E mûveletsorral (31) kiindulási egyenleteinkbõl az un. homogén hullámegyenlethez szeretnénk eljutni, azaz azt szeretnénk megvizsgálni, hogy gázokban, folyadékokban hogyan, és milyen fajta hullámok terjednek.

A linearizálási eljárás kiindulási pontjaként fölteszünk egy stabil, idõben állandó alapmegoldást. Ezek - hanghullámok esetében - , stabil, állandó értékek, és , azaz a levegõ sûrûsége, nyomása, és alapsebessége adottak. A sebességet azért választottuk nullának, mert igazából nem kívánunk foglalkozni a fúvó szélben terjedõ hullámokkal, az egyszerûbb esettel is megelégszünk. A tömegerõket reperezentáló kifejezést az Euler egyenlet a jobboldalán elhagyjuk, vagyis súlytalan közegben terjedõ hullámot vizsgálunk. Ezen elhagyást valamivel elegánsabban is ideológizálhatnánk, ha annak hatását a sztatikus alapmegoldásba szerelnénk be. Egyszerûbb azonban a súlytalan közeg föltevésünk, így azt alkalmazzuk.

Az alapmegoldásokat térben is és idõben is állandóknak tekintjük. Közvetlen folyománya az elõbbieknek az, hogy az alapmegoldások bármely változó (t, x, y, z) szerinti deriváltja nulla. Ezen alapmegoldásokra kicsiny, helytõl és idõtõl függõ perturbációkat - zavarótagokat - ültetünk rá. Valamely alapmegoldás perturbációjáról akkor beszélhetünk, ha ez csak kismértékben módosítja az alapmegoldást, az eredeti megoldás mindvégig domináns marad. Egyenleteinkkel ezen perturbációk viselkedését kívánjuk nyomon követni, s ezen perutbációkat fogjuk hanghullámoknak nevezni. Az eddig elmondottakat az alábbiakban összegezhetjük. Vesszõs mennyiségek jelentik a perturbációkat.

$$\rho (\vec{r}, t)=\rho _{o}+\rho '(\vec{r}, t), ...... max(\rho '(\vec{r}, t))\ll \rho _{o}$$

$$p(\vec{r}, t)=p_{o}+p'(\vec{r}, t), max(p'(\vec{r}, t))\ll p_{o}$$

$$\vec{v} (\vec{r}, t)=0+\vec{v}'(\vec{r}, t)$$ (32)

Megemlítenénk -csupán az összehasonlítás kedvéért - hang esetére néhány számadatot.

emberi beszédhang , hallásküszöb

Az alapmegoldás, és a perturbáció felsorolt tulajdonságai, a velük végzett mûveletekre sajátos szabályrendszert írnak elõ. Ezek a következõk:

• bármely függvény, bármilyen változó szerinti deriváltja helyettesíthetõ a perturbációt leíró függvény megfelelõ deriváltjával, mivel hely és idõfüggést csak az ezek hordoznak. Ez az átírás egzakt, ebben semmiféle közelítés nincs.
• Ha egy összegben nagy érték mellett egy kicsi szerepel akkor ez utóbbi elhagyható például . Itt érhetõ tetten a linearizálás, hiszen két ismeretlen függvény szorzata helyett egy (nagy érétkû) konstans és egy ismeretlen függvény szorzatát kaptuk. Ez már közelítést jelent, nagyobb perturbáció amplitudó esetén már jelentõs hibát okozhat.
• Két perturbációs (vesszõs) tag szorzata, mint másodrendben kicsiny tag szintén elhagyható.

Elsõként a átalakítását követjük el. Barotrop közegrõl lévén szó, megtehetjük, hogy a nyomás helyfüggését a sûrûségen keresztüli, közvetett függvényként kezeljük, azaz . Ennek gradiensét a közvetett függvény deriválási szabályaival állítjuk elõ

$$grad(p)=\frac{dp}{d\rho }grad(\rho ')$$

A   barotróp állapotegyenlet fölhasználásával kapjuk:

$$\frac{dp}{d\rho }=\kappa \frac{p_{o}}{\rho _{o}^{\kappa }}\r......^{\kappa }}\rho _{o}^{\kappa -1}=\kappa \frac{p_{o}}{\rho _{o}}$$

Van az Euler egyenletben egy nemlineáris tag, a konvektív derivált . Õszintén ártatlan szemmel azt mondhatnánk, hogy ez, mint két kicsiny tagot (és egyetlen nagyot sem) tartalmazó szorzat, minden további lelki gyötrelem nélkül elhagyható. Ez azonban sajnos nincs így, hiszen e benne szerplõ Nabla mûvelet meglepetéseket okozhat. Az általa produkált érték akkor, ha a sebesség rövid távolságon belül nagyon gyorsan növekszik, (csökken), akkor igen tetemesre nõhet. Másik oldalról is megvilágíthatjuk ugyanezen kifejezés elhanyagolhatóságát. Megmutattuk, hogy a Nabla operátor monokromatikus síkhullámra az -ik szorzással helyettesíthetõ, ezt pedig , vagyis igen rövidhullámú hullámok esetében e nemlineáris tag nem hanyagolható el. Most azt hihetnénk, hogy borzasztó okosak voltunk, de csalódnunk kell e vélekedésünkben. Az elhanyagolás sohasem önmagában a kicsi, vagy a nagy érték alapján történik, hanem két érték összehasonlítása alapján. Két gyorsulás tagunk van, az explicit idõfüggésbõl adódó, és a konvektiv deriváltból származó gyorulás. Az összehasonlítás kedvéért egyszerûsített alakjuk a következõ: . A kérdés az, hogy mikor ki a (abszolutértékben) nagyobb, esetleg melyik válik olyan kicsivé, hogy a másik mellett elhagyhatjuk. X irányú síkhullámot föltéve , a deriválási mûveletek a következõkhöz vezetnek. az egyik tag pedig a másik. Elhagyva az azonos szorzókat a kérdés az, hogy . Figyelembe véve a hullám fázissebességére kapott összefüggést , azt kapjuk, hogy a nemlineáris tag akkor hagyható el, ha , vagyis, ha a perturbácó sebességamplitudója sokkal kisebb mint a hangsebesség. Ez tehát a mi esetünk.

Ezek után az Euler egyenlet roncsai a következõképpen olvashatók:

$$\rho _{o}\frac{\partial \vec{v}'}{\partial t}=-\kappa \frac{p_{o}}{\rho _{o}}grad(\rho ')$$ (33)

A tömegmegmaradást kifejezõ kontinúítási egyenlet átalakításai - figyelembe véve a perturbációk kezelésére fölállított szabályainkat - a következõk:

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+div(\rho \vec{v})=\frac......{\partial t}+\rho _{o} div(\vec{v}')+(\vec{v}'grad(\rho '))=0$$

A legutolsó tagot, mint amelyik két piciny perturbációt tartalmaz itt is elhanyagolhatóan kicsinynek tekintjük a többihez képest. A gradienssel kapcsolatos korábbi lelkiéletünket itt most nem éljük tovább. Az utóbbi egyenletbõl tehát a következõ maradt:

$$\frac{\partial \rho '}{\partial t}+\rho _{o} div(\vec{v}')=0$$

Ez utóbbi egyenlet idõderiváltja, az (34 ) egyenlet divergenciája

$$\frac{\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}+\rho _{o} div(\frac{\partial \vec{v}'}{\partial t})=0$$

$$\rho _{o}div(\frac{\partial \vec{v}'}{\partial t})=-\kappa \frac{p_{o}}{\rho _{o}}div grad(\rho ')$$ (34)

A mûveleteknél a térkoordináták, és az idõ szerint deriválás sorrendjét fölcseréltük, ezt a számtanórán tanultak alapján megtehetjük, ha a szóbanforgó vegyes deriváltak folytonosak. Fölismerjük a két egyenletben egyaránt szereplõ kifejezést, ezek segítségével e két egyenlet összírható.

$$\frac{\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}=\kappa \frac{p_{o}}{\rho _{o}}\Delta (\rho ')$$ (35)

Õ a homogén hullámegyenlet. Itt a gázokban terjedõ kisamplitudójú zavarok leírására vezttük le, azonban a fizika számos területén elõbukkan.

Megjegyezzük, hogy a Laplace operátor szokásos jelölését alkalmaztuk: .

A hullámegyenlet utóbbi alakjába behelyettesítjük a sûrûségperturbációt leíró síkhullám alakot:

$$\rho '(\vec{r}, t)=\rho ^{,}_{o}e^{i(\omega t-\vec{k} \vec{r}+\varphi )}$$

kapjuk az alábbi összefüggést:

$$-\omega ^{2}\rho '(\vec{r}, t)=-\kappa \frac{p_{o}}{\rho _{o}}k^{2}\rho '(\vec{r}, t)$$

Alkalmaztuk a korábbiakban igazolt, síkhullámokra érvényes következõ deriválási szabályokat: , valamint   . Az együtthatók egyenlõségébõl, átrendezés után kapjuk a hanghullámok fázissebességére a következõt:

$$V_{f}=\frac{\omega }{k}=\sqrt{\kappa \frac{p_{o}}{\rho _{o}}}$$

Levegõre az adatok kb. hangsebességet szolgáltatnak.

Az egyesített gáztörvény alakja a fázissebességre egy másik formát is sugalmaz, nevezetesen:

$$V_{f}=\frac{\omega }{k}=\sqrt{\kappa \frac{R T}{M}}$$

Ez azt mondja, hogy (M és által) adott anyagi minõségû gázban a hanghullámok terjedési sebessége csak a gáz ( abszolut ) hõmérsékletétõl függ.

Doppler effektus.

A doppler effektus akkor jelentkezik, ha vagy a hullámforrás, vagy az észlelõ -esetleg mindkettõ- mozog a másikhoz viszonyítva. Ekkor a forrás által kibocsátott frekvenciától eltérõ frekvenciát észlelünk. Azt vizsgáljuk elsõként az (15) ábra alapján, hogyan módosul az eredeti hullámhossz miközben az F forrás az É észlelõ felé mozog. A hullám t = 0 idõpontban az F pontból kibocsátott fázisa (ha úgy tetszik rezgésállapota) egy T periódusidõ alatt É -be érkezik, miközben a forrás az észlelõ felé elmozdult távolsággal. Az egy rezgési periódus végét már ebben a pontban bocsátja útjára. A megváltozott hullámhossz így írható:

$$\lambda ^{,}=\lambda _{o}-V_{F}*T$$

Ha a hang fázissebességét Ch-val jelöljük akkor , valamint összefüggések alkalmazásával a megváltozott frekvencia a következõképpen adható meg:

$$f'=f_{o}\frac{C_{h}}{C_{h}-V_{F}}$$

A forrás közeledésekor tehát az eredetinél magasabb frekveciájú hangot hallunk. Távolodó hullámforrás esetén a nevezõben elõjelét ellentétesre változtatjuk, amely a frekvencia csökkenéséhez vezet.

Figure: A hangforrás VF sebességgel közeledik az észlelõ felé, az eredeti hullámhossz megváltozik.

Az ábra értelmezésébõl világos, hogy ez a meggondolás ilyen formában csak a Ch hullám fázissebességnél kisebb sebességû forrás esetén alkalmazható.

Álló hullámforrás, és a forrás felé Ve sebességgel közeledõ észlelõ esetén annyival több hullámot észlelünk -az állóhelyben észlelhetõ frekvencián túl- amennyi hullám elfér a forrás felé megtett utunkon. Ez az út 1 s alatt Ve , az észlelt frelvencia tehát: vagy a szokásosabb formája:

$$f'=f_{o}\frac{C_{h}+V_{e}}{C_{h}}$$

Ugyanezen összefüggések alkalmazhatók a forrás és az észlelõ egyidejû mozgása esetén is. Ilyen esetekben az egyik összefüggés által szolgáltatott frekvencia használandó a másik bemenõ frekvenciájaként. Ha az észlelõ nem tisztán a forrás irányába mozog, akkor a sebesség forrás irányú összetevõjét kell Ve értékeként használnunk. Ugyanez az alapelv alkalmazható, ha a forrás sebessége nem az észlelõ irányába mutat.

Az itt említett Doppler jelenségek mind hanghullámoknál, mind pedig elektromágneses hullámoknál - így a fénynél is - fellépnek, így olyan infomációkat kapunk akár miliárd fényévnyi távolságban levõ galaxisokról is, amelyekhez más módon nem is juthatnánk hozzá.

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató