Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató

A munka, munkatétel

Az erõ elmozdulás során végzett elemi munkáját a következõ módon definiáljuk:

$$\delta W=\vec{F}d\vec{s}=F ds cos(\alpha )=F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz$$

A munka egysége: Nm vagy J (a Joule rövidítéseként). Vigyázat: a forgatónyomaték (lásd késõbb) egysége is Nm. (Fent csupán az egységek neveivel játszadoztunk. Valójában a következõk szerint kellene megadnunk az egységet: W = F s = m a s ezen alapegységekkel kifejezett egységet nevezzük 1 Joule -nak)

Ha az elmozdulás és az erõ merõlegesek, akkor a munkavégzés nulla azaz:      

Ha a elmozdulások sorozata során egy pályagörbét futunk be, akkor az egyes elemi elmozdulások ( ezek a görbe ívelemei ) során végzett elemi munkákat összegeznünk kell. Ez az összegzés végül integrál formáját ölti. A pályagörbe egy szakaszán végzett munka tehát -görbementi integrál:

$$W_{\Gamma }(a,b)=\int ^{b}_{\Gamma a}\vec{F}(\vec{r})d\vec{s}$$

Amennyiben az s út során az F erõ valamint az erõ és az elmozdulás szöge is állandó, akkor a munkavégzés számítása egyszerûbb formában is elvégezhetõ: .

A munkavégzés sebességét, vagyis egységnyi idõ alatt végzett munkát a P teljesítménnyel jellemezzük.

$$P=\frac{\delta W}{dt}=\overrightarrow{F}\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\overrightarrow{F}\overrightarrow{v}$$

Egysége . Ha a teljesítményt az idõ függvényeként ismerjük, akkor a t1, t2 idõpontok által kijelölt idõintervallumban végzett munka, a teljesítmény idõintegráljaként állítható elõ:

$$W(t_{1},t_{2})=\int ^{t_{2}}_{t_{1}}P(t)dt$$

A testek helyzetéhez, mozgásához, deformált állapotához, stb. kapcsolódó munkavégzõ képességet energiának nevezzük.

Egysége tehát megegyezik a munka egységével, azaz Joule egységekben mérjük.

A testek mozgásához kapcslódó munkavégzõ képesség: a mozgási, vagy kinetikus energia:

$$W_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}m(v_{x}^{2}+v^{2}_{y}+v^{2}_{z})$$

A továbbiakban egy fontos tételt, a pontmechanika munkatételét, illetve teljesítménytételét vezetjük le.

A kinetikus energia idõderiváltja a következõ:

$$\frac{dW_{k}}{dt}=\frac{d}{dt}\frac{1}{2}m (v_{x}^{2}+v_{y......frac{1}{2}m 2\overrightarrow{v}\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$$

Newton II szerint azonban:

$$m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\overrightarrow{F}_{e}$$

amelyet a pont V sebességével skalárisan szorozva a következõt kapjuk :

$$\frac{dW_{k}}{dt}=\overrightarrow{F_{e}}\overrightarrow{v}$$

A továbbiakban az eredõ erõ teljesítményét jelöli . Ezekkel a jelölésekkel a teljesítménytétel a következõ:

$$\dot{W}_{k}=P_{e}$$

Tömegpont mozgási energiájának idõderiváltja (az idõderiválást most egy pont jelöli) egyenlõ a pontra ható eredõ erõ teljesítményével -ezt az állítást nevezzük teljesítménytételnek.

Idõ szerinti integrálással kapjuk a teljesítménytételbõl a munkatételt:

$$W_{k}(t_{2})-W_{k}(t_{1})=\int ^{t_{2}}_{t_{1}}P_{e}(t)dt=\i......2}}_{Lp_{1}}\overrightarrow{F_{e}}(\overrightarrow{r})d\vec{r}$$ (5)

Tömegpont mozgási energiájának megváltozása egyenlõ az pontra ható eredõ erõ munkájával .

A munkatétel fizikai tartalma ugyanaz mint a teljesítménytételé, csak az állítás nem idõpontra, hanem véges idõtartamra vonatkozik. A munkatételhez tartalmilag hasonló állítások a fizika különbözõ területein megjelennek, ilyenek pl. - hõtan I. fõtétele - energia mérleg elektrodinamikában stb.

Erõtér, térerõ.

Ha a vizsgált tértartomány minden pontjához hozzárendelünk egy vektort, amely az oda behelyezett pontszerû testre ható erõt adja meg, akkor ezt a vektorteret erõtérnek nevezzük. (vannak akik a mezõ elnevezést kedvelik) Idõben állandó erõtereket statikus, erõtereknek vagy más elnevezéssel statikus mezõknek nevezzük. Ezen mezõk szemléltetésére az u.n. erõvonalakat használjuk. Ilyen vektorterek -esetleg idõben változó formában - a fizika más területein is szerepet játszanak. Ilyen például az áramló közeg sebességtere is. Az alább elmondottak bizonyos szavak lecserélésétõl eltekintve ugyanazok pl. a sebességterek áramvonalakkal történõ szemléltetése esetén is.

Az erõvonalak, és a vektortér közötti -megállapodás szerinti- kapcsolat a következõ. Az erõvonalhoz húzott érintõ iránya párhuzamos az ugyanebben a pontban ható erõvel. Az erõvonalak sûrûsége - az erõvonalakra merõleges egységnyi felületen áthaladó erõvonalak ``száma'' (fluxusa) - arányos az ebben a pontban ható erõ nagyságával. E definició alapján az erõvonalakat meghatározó differenciálegyenlet a párhuzamosságot kifejezõ vektorszorzat kifejtésével írható fel. 2 dimenziós esetben az y(x) görbe differenciálegyenlete az egyszerû dy/dx = Fy/Fx alakhoz vezet.

Az m1, m2 tömegeket behelyezzük a tér A , és B pontjába. A tömegekre ható erõk vizsgálata tapasztalataink szerint a következõkhöz vezet: a tömegpontokra ható erõ felbontható egy csak a helytõl függõ vektormennyiség és egy csak a behelyezett testre jellemzõ skaláris mennyiség szorzatára: . Az vektorteret térerõsségnek nevezzük, az egységnyi tömegre kifejtett erõ irányát és nagyságát határozza meg.

A fenti felismerésre akként jutunk el, hogy észrevesszük, hogy az erõk párhuzamosak, s ugyancsak párhuzamosak az erõk is. Az is szemet szúr nekünk, hogy az m1 és m2 testekre ható erõk aránya a helytõl függetlenül ugyanaz mind az A, mind pedig a B helyen. Azaz az erõk aránya ugyanannyinak bizonyul, mint az erõk aránya. Ez egyébként a két m1, és m2 tömeg arányát adja meg. Ez utal arra, hogy az erõ kifejezését megadó összefüggésben szorzóként egy, az aktuális testre jellemzõ mennyiségnek (tömegnek) kell lennie. Az erõk helyfüggéséhez az elõbbi erõket más párosításban vizsgáljuk. Az erõk irányai és aránya az erõk irányaival, illetve arányaival egyezik. Ez a térbeli pozicióra jellemzõ vektormennyiség jelenlétére utal az erõ kifejezését megadó összefüggésben.

A fizikában központi szerepet játszanak egy specális tulajdonságot mutató mezõk, az un. konzervatív mezõk. Alapvetõ megfigyelésünk az, hogy bizonyos mezõkben a mezõ (más néven erõtér) által, tetszõleges zárt görbe mentén végzett munka 0. Az ilyen tulajdonságokat mutató mezõket konzervatív mezõknek nevezzük.

Konzervativ térben tehát     

A mezõ térerõsségének tetszõleges, zárt görbére vett görbementi integrálja nulla. Ugyanezt most elmondanánk fizikául is: az konzervatív mezõ tetszõleges zárt görbe mentén végzett munkája nulla. Azt könnyen belátjuk hogy az erõ és térerõ közötti kapcsolat miatt ez a tulajdonság mind az erõre, mind pedig a térerõsségre is fönnáll. A mezõ konzervatív volta egyetlen tulajdonságot jelent, azonban ennek számos, egymástól különbözõ matematikai megfogalmazása van. A továbbiakban a konzervatív mezõk tuljdonságait sorolnánk föl.

Figure: Zárt görbe és földarabolása két görbére. L2 mentén a ds ívelem megfordítása az integrál elõjelváltásához vezet.

Az L zárt görbe menti integrál föltrancsírozható egy a -tól b -ig haladó L1 és egy b -tõl a -ig haladó L2 menti integrállá. Ez utóbbin -egy elõjelváltás árán - fölcseréljük az alsó és felsõ határokat. Az integrálok tölteléke mindenütt ugyanaz az , ezért ezeket az alábbiakban nem is írjuk.

$$\oint _{L} ..=\int ^{b}_{L_{1}a}..+\int ^{a}_{L_{2}b}..=\i......tarrow \int ^{b}_{L_{1}a}..=\int ^{b}_{L_{2}a}..$$

Mivel L1-re és a minusz L2 -re elkövetett integrál együttesen nullát ad, így az átrendezés azt mondja, hogy ugyanazt a munkavégzést kapjuk akár L1, akár L2 mentén megyünk a -ból b -be. Abból a ténybõl, hogy akármilyen a -ból b-be haladó Li görbékre ugyanezt kapjuk, a konzervatív tulajdonság egy újabb megfogalmazásához jutunk, nevezetesen: konzervatív mezõ által végzett munka független az úttól, a munkavégzést a görbe (azaz az integrációs útvonal) kezdõ és végpontja egyértelmûen meghatározza.

$$\int ^{b}_{L_{1}a}..=\int ^{b}_{L_{2}a}..=-(W_{b}-W_{a})$$

Ezt a tulajdonságot csak úgy tudjuk kielégíteni, hogy ha a munkavégzést a kezdõ és végponthoz tartozó skalármennyiségek különbségeként állítjuk elõ. Vagy álatlában, tetszõleges két pont közötti munkavégzést a két ponthoz hozzárendelt skalármennyiségek különbségeként kaphatjuk meg. Ki van tehát tapétázva a konzervatív vektorterünk egy skalártérrel is. Õt úgy nevezzük, hogy potenciális energia. Ehhez még visszatérünk.

Más.

A zárt görbe menti integrál Stokes integrál-trafo alpján átalakítható a görbe által körülölelt felületre képzett felületi integrállá:

$$\oint _{\Gamma }\overrightarrow{F}d\overrightarrow{r}=\int _......Rightarrow rot(\overrightarrow{F})=0$$

Az integrandus tehát mindenütt nulla, mivel az integrál értéke tetszõleges felületre nullát ad. Ebbõl adódik a mezõ kozervatív tulajdonságának egy lokális (pontbeli) megfogalmazása nevezetesen . Vagyis a kozervatív mezõ erõtere örvénymentes vektortér. Számtanórán tanultuk, hogy minden olyan vektortér, amely egy skalártér gradienseként áll elõ, örvénymentes, egyszerûbben , vagy ha valakinek jobban tetszik: .

Mielõtt továbblépnénk még egy matematikai csacskaságot kell tisztáznunk. Azt vizsgáljuk hogyan változik meg az f függvényérték, ha az argumentum kicsiny -el megváltozik. A ''kicsiny'' kifejezés itt azt jelenti, hogy a lineáris növekmények mellett a magasabb hatványokat tartalmazó tagok már elhanyagolhatóan kicsiny járulékot adnak. Különbözõ emberekerõl elnevezett sörfejtés szerint:

$$f(\vec{r}+d\vec{r})=f(\vec{r})+\frac{\partial f}{\partial x}......+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}dx^{2}+\ldots$$

A növekmény lineáris részét teljes differenciálnak nevezzük, s fentiek alpján -felismervén a gradiens f és a dr skaláris szorzatát -a következõképpen adható meg:

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz=\nabla f d\vec{r}$$

Fizikához visszatérve, a konzervatív mezõ felsorolt tulajdonságai maradéktalanul kielégíthetõk, ha a térbe elhelyezett ponteszerû testre kifejtett erõt egy un. potenciális energia függvény negatív gradienseként állítjuk elõ:

$$\vec{F}=-\nabla W_{p}(\vec{r})$$

Természetesen, ha valaki jobban szereti, a grad(Wp) formát is használhatja.

Ez erõ ezen elõállítási formája azt jelenti, hogy az erõ három koordinátáját megadó függvények helyett elegendõ egyetlen skaláris függvényt megadnunk, amelybõl származtathatjuk az erõ koordinátáit. Egyébként azt is látjuk, hogy ha találtunk egy olyan Wp potenciálfüggvényt amely a F erõteret állítja elõ, akkor minden olyan más W'p függvény is amely az eredeti Wp -tõl egy additív konstansban különbözik, azaz W'p=Wp+Konst, ugyanazt az F erõteret szolgáltatja, mivel bármely konstans deriváltja (itt gradiense) nulla. A potenciálfüggvény tehát csak egy additív konstanstól eltekintve egyértelmûen meghatározott. Mivel a fizikai problémáknál rendszerint a potenciális energiák különbsége játszik szerepet, az additív konstans így rendszerint kiesik. Egyébként e tetszõleges konstans teszi lehetõvé, hogy az potenciális energia zérushelyét úgy válasszuk, meg ahogy az illetõ probléma szempontjából a legkényelmesebb.

A fenti elõállítás következménye, hogy az elemi munka konzervatív térben

$$\delta W=\vec{F}d\vec{r}=-\nabla W_{p}(\vec{r}) d\vec{r}=-dWp$$

a fentiek alapján teljes differenciál. Az elemi munka egyenlõ a potenciális energia negativ megváltozásával. Egy véges L görbedarab r1 és r2 pontja között a munkavégzés alakja:

$$W_{1,2}=\int ^{Lr2}_{Lr1}\vec{F}d\vec{r}=-\int ^{Lr2}_{Lr1}dWp=-(Wp(\vec{r}_{2})-Wp(\vec{r}_{1}))$$

Ha a tömegpontra ható eredõ erõ egy konzervatív és egy nem konzervatív erõ összegeként áll elõ, vagyis , akkor az eredõ erõ munkája az egyes erõösszetevõk munkájaként számítható:

$$We_{1,2}=\int ^{Lr2}_{Lr1}\vec{F}_{nk}d\vec{r}-(Wp(\vec{r}_{2})-Wp(\vec{r}_{1}))$$

A munkatétel azt mondotta nékünk, hogy az eredõ erõ munkájával egyenlõ a tömegpont Wk mozgási energiájának növekménye:

$$We_{1,2}=W_{k}(2)-W_{k}(1)$$

Ebbe beleírván az eredõ erõ munkáját kapjuk a munkatétel következõ formáját.

$$W_{k}(2)-W_{k}(1)=\int ^{Lr2}_{Lr1}\vec{F}_{nk}d\vec{r}-(Wp(\vec{r}_{2})-Wp(\vec{r}_{1}))$$

Mechanikai energia (össz-energia) alatt értjük összeget. A munkatétel szerint ennek megváltozása egyenlõ a tömegpontra ható nemkonzervatív erõk (Wnk) munkájával.

$$(W_{k}(2)+W_{p}(2))-(W_{k}(1)+W_{p}(1))=W_{nk}(1,2)$$

Ha a nem konzervativ erõk munkája 0, pl. ha csak kozervatív erõk hatnak, akkor a potenciális (más néven helyzeti), és a kinetikus (azaz mozgási) energiák összege állandó. Ez azt jelenti, hogy az adott test mozgásának valamely idõpillanatában ismerjük ezt az összeget, akkor e mozgás bármely más idõpillanatában is ugyanez lesz a két energia összege.

A mechanikai energia konzerválódik konzervatív mezõben való mozgás során, s az konzervatív mezõ elnevezés eredete is innen származik.

Matematikai legendárium szerint a gradiens(f) megadja az f függvény leggyorsabb változásának irányát, abszolutértéke pedig azt, hogy a függvényérték mennyit változik, ha az elõbbi irányban egységnyivel elõrelépünk. Ez egyébként a növekményt megadó formulából olvasható ki:

$$dWp=\nabla W_{p}(\vec{r}) d\vec{r}$$

Ha dr irányát merõlegesnek választjuk a irányára, akkor a skaláris szorzat ismert tulajdonsága miatt nullát kapunk dWp -re. Ha dWp annak ellenére nulla, hogy a dr elmozdulás nem nulla, akkor a Wp=Konst ekvipotenciális felületen mozogtunk. Az ekvipotenciális felület mentén az Fdr=-dWp munkavégzés nulla, s az erõk (s az erõvonalak) merõlegesek az ekvipotenciális felületekre.

Korábban említettük, hogy pl . gravitációs térben az m tömegû tömegpontra kifejtett erõ az formában adható meg, ahol f csak a térre jellemzõ vektormennyiséget térerõnek, vagy térerõsségnek nevezzük. A potenciális energia kapcsán is bevezethetünk egy, csak a térre jellemzõ skalárértékû függvényt, amelyet potenciálfüggvénynek nevezünk, s kapcsolata a potenciális energiával Wp=m*U.

  m -való osztás után marad

Az F erõ konkrét m tömegû tömegpontra kifejtett erõt jelenti. Más, más m tömeget ugyanabba a térbeli pontba helyezve más, más nagyságú erõt, s más más értékû Wp potenciális energát kapunk. Az f térerõsség és az U potenciálfüggvény már nem tartalmaznak a behelyezett testre jellemzõ, adatokat, õk már csak a teret jellemzõ függvények.

Könnyen igazolható néhány erõtörvény potenciálfüggvénye. (Egyes részletekkel késõbb foglalkozunk).

F= -Dx lineáris erõtörvénnyel leírt rúgóerõ. Az ehhez tarozó potenciális energia függvénye .

A Föld felszínének közelében a homogén gravitácós vonzóerõ . Ehhez a Wp= mgz potenciális energiafüggvény tartozik.

A pontszerû (vagy kiterjedt, de gömbszimmetrikus tömegeloszlású) M tömeg pontszerû m tömegre kifejtett gravitációs (tömegvonzási) ereje:

Az M tömegû test gravitációjának potenciálfüggvénye pedig:

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató