Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató

A mozgásegyenlet, speciális mozgások

Newton II. törvényében, a vizsgált tömegpontra ható erõk eredõje, az szerepel. Azt a függvényt, amely megadja, hogy az eredõ erõ hogyan függ a tömegpont helyvektorától, sebességétõl, s az idõtõl, erõtörvénynek nevezzük. Az függvény tehát az erõtörvény nevet viseli.

Newton II. leggyakrabban használt formája a következõ:

$$m\vec{a}=\vec{F}_{e}$$

Ezt a dinamika alapegyenletének is szokás nevezni. Impulzustétel néven ismert ennek a következõ alakja   . A dinamika alaptörvénye kapcsán jelentkezõ alapfeladatok:

- Statika, ( vagy sztatika ) tárgya az egyensúly, és az egyensúly feltételeinek vizsgálata. A tömegpont egyensúlyi helyzetét az eredõ zérus értéke tünteti ki. Az egyensúlyi helyzet stabilitásának vizsgálata már a dinamika és a statika közé esõ terület.

- Dinamika a környezet hatását jellemzõ erõ és a tömegpont mozgásának kapcsolatát vizsgálja. Két irányban alkalmazhatjuk ekkor a dinamikai alaptörvényt.

*   Ismert mozgástörvény esetén a pontra ható eredõ erõ ( illetve komponensei ) az alapján megkereshetõ.

*   Ha adott a tömegpontra ható eredõ erõ, mint a tömegpont helyvektorának, sebességének és az idõnek a függvénye, akkor ennek alapján a tömegpont mozgására következtethetünk, azaz az erõtörvénybõl kiindulva az adott tömeg mozgástörvénye a mozgásegyenletbõl meghatározható:

$$\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=\frac{1}{m}\overrightarrow{F}(\vec{r},\frac{d\vec{r}}{dt},t)$$ (6)

A fenti egyenlet az un. mozgásegyenlet. Kapcsolatot állapít meg a az ismeretlen , függvény, annak deriváltjai és az idõ között. A vektoregyenlet koordinátás olvasata alpján ez három darab másodrendû, differenciálegyenlet a meghatározandó vektor koordinátái számára.

A kétszeri integrálás koordinátánként 2 integrációs állandót termel. Kezdeti feltételekkel - - ezen állandók meghatározhatók - illetve ezen integrációs állandók teszik lehetõvé a megoldások hozzávarrását tetszõleges kezdeti feltételekhez. Térbeli (3D azaz 3 dimenziós) mozgás esetében a mozgásegyenlet egyértelmû megoldásához meg kell adnunk 6 db. adatot. Ezek rendszerint valamely kezdõ idõpillanathoz tartozó koordináta és sebesség értékek. A kezdeti idõpont rendszerint a t=0 idõpillanat. Ezt többnyire önkényesen megtehetjük, hiszen csupán arról van szó, hogy a stopperóránk gombját mikor nyomjuk meg. Az ezen idõpillanatban mért (Descartes koordinátarendszerben) Vxo,Vyo,Vzo, xo, yo, zo, sebesség és koordinátaértékek tehát a kezdeti feltételek.

Ha a mozgásegyenlet megoldásával meghatároztuk a tömegpont mozgását leíró , mozgástörvényt, akkor ''mindent'' tudunk a tömegpontról, hiszen -bõl kiindulva minden, az adott tömegpontra, és annak mozgására jellemzõ fizikai mennyiséget származtatni tudunk (finomabb részletezés nélkül fölsoroljuk ezeket: sebesség, gyorsulás, lendület, perdület, területi sebesség, mozgási energia, helyzeti energia, teljesítmény, munkavégzés ).

A mozgástörvény ismerete lehetõvé teszi a munkavégzés kiszámításánál felmerülõ homály tisztázását. A homály abban van, hogy az erõtörvény általában a hely, a sebesség, és az idõ függvénye: , a munkavégzés számítására viszont a következõ formulákat adtuk meg:

$$W_{\Gamma }(a,b)=\int ^{b}_{\Gamma a}\vec{F}(\vec{r}) d\ve...... W(t_{1},t_{2})=\int ^{t_{2}}_{t_{1}}P(t) dt$$

Az elsõ formula szerint a munkavégzést akkor tudjuk kiszámolni, ha az erõ csak a helyvektortól függ és tudjuk milyen pályát fut be a tömegpont, de sebességtõl vagy idõtõl függõ erõk esetében már nem. A teljesítmény idõintegráljával számított munkavégzéshez az erõt leíró függvényt ``csõre'' kell töltenünk a mozgástörvény és származékaival.

$$P(t)=\vec{F}(t) \vec{v}(t)=\vec{F}(\vec{r}(t),\vec{v}(t),t) \vec{v}(t)$$

Ekkor már valóban tettleg inzultálható a idõintegrál.

Példa: 1D -s mozgás, sebességgel arányos fékezõ erõ, tömeg. Adott (Ehhez fûzhetõ kvalitatív népmese: egy csolnakot, melyre sebességével arányos fékezõerõ hat, meglökünk Vo sebességgel ... )

$$F=-kv, \frac{dv}{dt}=-\frac{k}{m}v, ......, \int \frac{dv}{v}=-\int \frac{k}{m}dt . . .$$

$$ln(v)=-\frac{k}{m}t+ln(C) v(t)=Ce^{(-\frac{\textrm{k}}{\textrm{m}}t)}$$

Itt az integrációs állandót ln(C) alakban vettük föl. Ez elõnyös minden olyan esetben, amikor a keresett függvény is ln mögé bújt.

Vo jelöli a to=0 idõponthoz tartozó sebességet, úgy kell tehát megválasztanunk a C értékét, hogy a függvény erre a pillanatra is helyesen adja meg a sebességet. Ehhez beírjuk a megoldásba a független változó és függõ változó összetartozó értékeit.

$$Vo=Ce^{(-\frac{\textrm{k}}{\textrm{m}}to)}=Ce^{0}=C$$

$$v(t)=Vo e^{(-\frac{\textrm{k}}{\textrm{m}}t)}$$

Ennek idõintegrálja szolgáltatja a mozgástörvényt. Ebben az 1D-s mozgásban ez az x(t) függvény.

Az integrál a következõt eredményezi:

$$x(t)=C1-\frac{m}{k}Voe^{(-\frac{m}{k}t)}$$

Ha a tömegpont a t=0 idõpillanatban az origóban volt, akkor az x(t) függvény is ezt kell, hogy adja, azaz x(0)=0.

$$0=C_{1}-\frac{m}{k}Vo, C_{1}=\frac...... x(t)=\frac{m}{k}Vo [1-e^{(-\frac{m}{k}t)}]$$

- Ez még hiányos -

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató