Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató

A gerjesztési törvény

Figure: A gerjesztési törvény integrális formájához: az L görbe és az általa körülölelt A felület. A ds ívelem által kijelölt körüljárási irány a dA felületelem irányítását generálja

A (4) ábrán a ds ívelem indukálta felületi normális elõjelezi a körülölelt felelületen áthaladó áramokat

Tapasztalataink szerint az elektromos áram mágneses mezõt hoz létre -ezt szép szóval úgy fejezték ki, hogy gerjeszt. Ennek alapján tehát a gerjesztési törvény az elektromos áram és az általa létrehozott mágneses mezõ kapcsolatát fogalmazza meg. Két változata van, az eredeti Ampere féle amely csak egyenáramokra jó, s a Maxwell által módosított általánosan érvényes forma. Az Ampere féle gerjesztési törvény integrális formája azt mondja ki, hogy a mágneses térerõsség tetszõleges zárt L görbementi integrálja egyenlõ a görbe által körülölelt felületen átfolyó áramok elõjeles összegével: Az áramok elõjelezése a zárt görbe körüljárási iránya által generált felületi normális irányítása alpján történik .

A gerjesztési törvény Ampere - féle alakja

$$rot\vec{H}=\vec{j}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \oint _{L}\vec{H}d\vec{s}=\sum _{k}I_{k}$$

Az integrális forma jobboldalát kicsit részleteznünk kell, itt ugyanis az L görbe által körülölelt A jelû felületen átfolyó teljes áram szerepel. Ez az összefüggõ felület azonban gyakran szétesik olyan kisebb tartományokra, amelyekben áram folyik, és olyan tartományokra, amelyeken nem folyik áram. Ilyen pl. az az eset, amikor több drótot (áramhordzó vezetéket) tartalmaz az A felület. A felület többi részén áram nem folyik.

$$\int _{A}\vec{j}d\vec{A}=\sum _{k}\, \int _{Ak}\vec{j}_{k}d\vec{A}=\sum _{k}\, I_{k}$$

Akár az integrális, akár a differenciális formából kiindulva arra jöhetünk rá, hogy a fenti formulák idõben változó mennyiségek esetén már helytelen eredményekre vezetnek.

Számtanórán azt tanultuk, hogy bármely vektortér rotációjának divergenciája nulla. Ehhez hasonló állítás ugyan minden konkrét a vektorra belátható $(\vec{a}.[\vec{a}\times \vec{F}])=0$ , hiszen a vektorszorzat eredménye a tényezõvektorokra merõleges. Így az a tényezõvektorok egyikével elkövetett skalárszorzata mindenképpen kihal, a két vektorfajzat ortogonalitása miatt. A Nabla vektorral ugyanezeket az inzultusokat kell elkövetnünk, azonban a fenti okfejtés erre a mûveleti utasításra már nem húzható íly egyszerûen rá. Némi matematikai testgyakorlás után azonban beláthatjuk, hogy

$$div(rot(\vec{H}))\equiv (\nabla .[\nabla \times \vec{H}])=0$$

Nos tehát alkalmazzuk ezt a gerjesztési törvényre:

$$div(rot(\vec{H}))=/0/=div(\vec{j})\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \; vagyis\, \, \, \, div(\vec{j})=0$$

Ampere - Maxwell gerjesztési törvény

$$rot\vec{H}=\vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial \, t}\, \, \,......oint _{L}\vec{H}d\vec{s}=\sum _{j}I_{j}+\frac{d}{dt}\int _{A}\vec{D}\, d\vec{A}$$

A töltésszállítást leíró $\vec{j}$ áramsûrûséghez hozzá kell adnunk egy, az elektromos mezõ idõbeli változásából adódó tagot. Ezt a tagot is $A/m^{2}$ egységekben mérjük, és az egyenletbõl kiolvasható, hogy a mágneses mezõ kiépítésében a $\vec{j}$ áramsûrûséggel megegyezõ szerepet játszik. Ezért ezt a $\partial \vec{D}/\partial t$ tagot is áramsûrûségnek nevezzük, a pontos neve eltolási áramsûrûség vektor. Ez tehát nem ír le töltésszállítást, csupán a mágneses tér létrehozásában viselkedik áramsûrûségként.

Most azt vizsgáljuk, hogy a fizikai feltételektõl függõen, mikor, melyik áramsûrûség játszik domináns szerepet a mágneses mezõ létrehozásában.

Idõben períódikus, $\vec{E}=\vec{E}_{o}(\vec{r})e^{i\omega t}$ alakú függvénnyel leírt elektromos mezõ esetét nézzük. E választást a függvényforma széleskörû elõfordulása valamint idõderiváltjának könnyû kezelhetõsége indokolja. Az Ohm törvény, valamint a D és az E kapcsolatát kifejezõ formula alkalmazásával a gerjesztési törvény jobboldala így írható:

$$\vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial \, t}=(\gamma +i\omega \epsilon )\, \vec{E}$$

Ha tehát $\gamma \, \gg \, \omega \epsilon$ , akkor jó közelítéssel a mágneses tér kiépítésében csak a $\vec{j}=\gamma \vec{E}$ vezetési áram játszik szerepet. Vagyis elektromosan jól vezetõ közegben, viszonylag kis frekvencia esetén az eltolási áram szerepe elhanyagolható. Ekkor az 'egyenáramú' gerjesztési törvény alkalmazható.

Az egyenlõtlenség megfordítása, vagyis a $\gamma \, \ll \, \omega \epsilon$ feltétel a következõ fizikai körülményeket jelenti: szigetelõkben, vagy vákuumban vagyunk, vagy pedig a közeg ugyan nem szigetelõ, de az alkalmazott elektromos mezõ igen szaporán változik. Ekkor válik a jelenség meghatározó tényezõjévé az eltolási áram. Az elektromágneses hullámok létezéséhez is ezen tag megjelenése vezet.

A $(\gamma +i\omega \epsilon )$ tag diszperziót is jelent, azaz vezetõ közegben az elektromágneses mezõk 'viselkedése' frekvenciájuktól is függ. E pillanatnyilag homályos kijelentést az optikai résznél valamivel jobban megvilágítjuk.

Itt, és most szeretnénk fölkelteni az olvasó egészséges gyanakvását, annak kapcsán, hogy az elektromos és a mágneses jelenségek, mezõk területén valamilyen zavaros tisztátlanság van. Képzeljünk el egy idõben állandó töltéseloszlást, pl. pontszerû töltések sorát. Ezek sztatikus elektromos mezõt hoznak létre. Ha most egyenletes sebességgel elhaladunk e töltések mellett, akkor ezek, a hozzánk rögzített vonatkoztatási rendszerben elektromos áramot képviselnek, amely mágneses mezõt hoz létre. Tehát attól függõen, hogy én a megfigyelõ állok, vagy a töltésekhez viszonyítva esetleg mozgásban vagyok, tiszta elektrosztatikus, illetve elektromos és mágneses mezõket észlelek. Úgy tûnik tehát, hogy az elektromos és a mágneses mezõk nem is annyira különbözõ dolgok, azaz valamilyen közös eredetük van.

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató