Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató

A mozgási indukció és vidéke.

Az elõbbiekben tárgyalt gerjesztési törvény arról adott számot, hogy az elektromos áram, illetve az idõben változó elektromos mezõ hogyan hozza létre a mágneses mezõt. Most a viszonosság alapján azzal foglalkozunk, hogy a mágneses mezõ milyen hatást gyakorol az elektromos áramra, illetve az elektromos mezõre milyen hatással van a (az idõben változó) mágneses mezõ. Ebbe a körbe számos, látszólag nem túl közeli jelenség tartozik.

- Már korán felismert tapasztalati tényt fejez ki az un. Ampere erõ, amely a mágneses mezõben levõ áramátjárta drótra kifejtett erõt adja meg.

- Mozgási indukció során a mágneses mezõben mozgó testekben elektromos mezõ jelenik meg. Ennek egy szokásos megfogalmazási formája: mágneses mezõben mozgó vezetõben feszültség indukálódik.

A jelenségkör leírásához egy új mágneses vektorteret (mezõt) használunk, az un. mágneses indukcióteret. Ez a B amelyet $Vs/m^{2}$ egységekben mérünk. Nem túl egészséges ugyan, de e vektortér pontosabb definícióját késõbb, a megfelelõ jelenség kapcsán adnánk meg.

Az Ampere erõ, és a mozgási indukció tárgyalásához a közös gyökérbõl, a Lorentz erõbõl indulunk ki. Ez nem felel meg a jelenség felfedezések idõbeli sorrendjének, de jelentõsen leegyszerûsíti a megértést.

Mágneses mezõben mozgó töltésre kifejtett erõt az un. Lorentz erõt a következõ kifejezés adja meg:    $\vec{F}=q\, [\vec{V}\times \vec{B}]$

A Lorentz erõ teljesítménye 0, tehát nem változtatja meg a mozgó töltés mozgási energiáját, ellenben a mozgás irányát igen.

$$P=\frac{dW_{k}}{dt}=\vec{F}\vec{V}=q\, ([\vec{V}\times \vec{B}]\, \vec{V})=0$$

Ugyanis V skaláris szorzata a V -re merõleges [V x B]-vel nullát ad.

A töltésegységre ható erõként értelmeztük az elektromos mezõ térerõsségét,

$$\vec{E}=\vec{F}/q=[\vec{V}\times \vec{B}]$$

A B mágneses indukciójú mezõben V sebességgel mozgó testek a fenti összefüggés szerint számítható E elektromos mezõt észlelnek. Vagyis, ha átdobunk a mágneses mezõn egy szigetelõ darabkát, akkor benne ugyanúgy föllép pl. a polarizáció jelensége, mint bármilyen ortodox elektrosztatikus térben. Vegyük azonban észre, hogy a Lorentz erõ kapcsán bevezetett térerõsség ilyetén értelmezése jelentõs lazítás az elektrosztatika megelehetõsen feszes térerõ definícióján, hiszen itt az erõ a test sebességétõl függ, és csak a tér azon pontjához rendelhetõ ezen térerõ amelyen éppen a töltött pontszerû test éppen áthalad.

Most azt vizsgáljuk meg, milyen tipusú mozgást végeznek a mágneses mezõben mozgó töltött részecskék a Lorentz erõ hatása alatt. Legyen a homogén, idõben állandó mágneses indukciótér a következõ:   $\vec{B}=\{0,\, 0,\, B_{o}\}$ E mezõbe lép be egy q töltésû, m tömegû pontszerû részecske a következõ kezdõsebességgel: $\vec{v}_{o}=\{0,\, V_{oy},\, V_{oz}\}$ Newton második törvényét alkalmazva, valamint a Lorentz erõt kifejtve a következõ mozgásegyenlethez jutunk:

$$\begin{array}{l}m\dot{V}_{x}=qB_{o}V_{y}\\m\dot{V}_{y}=-qB_{o}V_{x}\\m\dot{V}_{z}=0\end{array}$$

Azonnal kiolvashatunk néhány sajátságot. A sebesség mágneses tér irányú összetevõje semmilyen szerepet nem játszik az erõben, ugyanakkor a Lorentz erõ nem befolyásolja a sebesség mágneses tér irányú összetevõjét.

A részecske z tengely menti mozgása leválasztható, és egyszerûen megoldható. Ránézésre látható, a z tengely mentén egyenletes mozgás tötrénik, az eredeti sebesség z koordinátája nem változik:

$$\frac{dV_{z}}{dt}=0\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, V...... \, \, \, \, V_{z}=V_{oz}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, z=V_{oz}\, t+z_{o}$$

Bevezetjük, egyelõre rövidítésként az $\omega =qB_{o}/m$ un. ciklotronfrekvenciát . A sebességkoordinátákra a következõ csatolt differenciálegyenlet rendszert kapjuk:

$$\begin{array}{l}\dot{V}_{x}=\, \omega V_{y}\\\dot{V}_{y}=-\omega V_{x}\end{array}$$

A $W=V_{x}+i\, V_{y}$ komplex sebesség bevezetésével a fenti két egyenletet következõ egyetlen differenciálegyenletbe gyömöszölhetjük be : $\dot{W}=-i\omega \, W$ . Ez az elõbbi egyenletekbõl következik összeadva a két egyenletet, miután beszoroztuk az imaginárius egységgel az utolsót. Ennek megoldása meglehetõsen egyszerû: $W=W_{o}e^{-i\omega t}$

A Wo komplex amplitudót más alakban megadva a következõ formát kapjuk:

$$W=Ae^{-i\varphi }e^{-i\omega t}=Ae^{-i(\omega t+\varphi )}$$

A fenti összefüggésben A és $\varphi$ a két integrációs állandó. Fölhasználva a sin és cos függvények megfelelõ párossági tulajdonságait a trigonometrikus forma a következõkhöz vezet:

$$W=A\, \cos (\omega t+\varphi )-i\, A\sin (\omega t+\varphi )$$

Azonosítva a komplex sebesség definíciójában a valós, és képzetes részeket a sebességkoordinátákra a következõket kapjuk:

$$V_{x}=A\, \cos (\omega t+\varphi )\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, V_{y}=-A\sin (\omega t+\varphi )$$

Ezek idõintegrálja adja az x és y koodináták idõfüggését:

$$x=A/\omega \, \sin (\omega t+\varphi )+K_{1}\, \, \, \, \, \, \, ......, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y=A/\omega \, \cos (\omega t+\varphi )+K_{2}$$

Átrendezés, négyzetreemelés után kapjuk akövetkezõket:

$$V_{x}^{2}+V_{y}^{2}=A^{2}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \: (x-K_{1})^{2}+(y-K_{2})^{2}=(A/\omega )^{2}$$

Kiolvasva ez utóbbi egyenlõségeket látjuk, hogy a mozgás vetülete, a mágneses indukcióra merõleges síkra, egyenletes körmozgás, s mivel a részecske mágneses mezõ irányú sebessége állandó, e két mozgás együttesen egy állandó menetemelkedésû csavarvonalat eredményez a részecske pályájául. Az $\omega =qB_{o}/m$ -ként definiált un. ciklotronfrekvencia valójában tehát szögsebesség. Az ellentétes töltésû részecskék ellentétes irányba végzik a körmozgást. A körmozgást végzõ töltött részecskék, mint minden gyorsuló töltés, elektromágneses sugárzást bocsátanak ki. Mivel a körmozgás frekvenciája (fordulatszáma) a mágneses mezõ intenzitásától, és a részecskék adataitól függ, ezen un. ciklotron sugárzás detektálásával távoli csillagok, neutroncsillagok, stb mágneses mezõjérõl szerezhetünk információt.

Ismerjük a Földünk mágneses mezõjét. E mágneses mezõ nyújt védelmet a Napszél, valamint a kozmikus eredetû sugárzás nagyenergiájú töltött részecskéi ellen. A mágneses mezõ a mágneses erõvonalak mentén vezeti el a töltött részecskéket a mágneses pólusok felé. A sarki fény jelensége is innen származik. Mivel a sarkok környékén besûrûsödõ erõvonalak, mint egy mágneses palack feneke a részecskék egy részét visszafordítja, ezek az északi és déli pólusok között ingáznak az erõvonalak mentén leírt csavarvonal pályákon. Nagyrészt ezen ingázó részecskék alkotják az un. van-Allen sugárzási övezeteket. A Napunk durván 11 évenként - tehát 22-éves periódus idõvel - fölcseréli mágneses sarkait. A póluscsere a mágnese tér idõszakos, majdnem teljes eltûnésével jár. Ez a jelenség a Föld esetében is -jól dokumentált formában- többször is lezajlott. Ezen idõszakokban az élõvilág a kozmikus sugárzás fokozott expoziciójának van kitéve.

A Földünk mágneses mezõje azonban nemcsak az élõlényeket védi, de azzal, hogy a napszél nagysebességû töltött részecskéit (azaz magát a napszelet) távoltartja az atmoszférától, a légkörünket is megvédi a napszél okozta eróziótól. E mágneses védõernyõ hiánya esetén a napszél rövid idõ alatt lefújná légkörünket a Földrõl.

Ampererõ

Ha egy áramátjárta vezetõt mágneses mezõbe teszünk, akkor azt tapasztaljuk, hogy a mágneses mezõ erõt fejt ki a vezetõre. Ezt az erõt Ampere erõnek nevezik, s mindennapjainkban széles körben alkalmazzuk. Analóg mutatós mûszereink, villanymotorok stb. mûködése alapul e jelenségen. A Lorentz erõ ismeretében egyszerû magyarázatot találunk az Ampere erõ eredetére.

Az A keresztmetszetû, ds hosszúságú vezetõ darabra kifejtett erõt, a benne mozgó egyes töltött részecskékre kifejtett erõk összegeként kapjuk. Ha mozgásra képes töltéshordozók koncentrációja (számsûrûsége) N, akkor a drótdarabka A*ds térfogatában n=N*A*ds darab a töltéshordozók száma. Ha az egy töltéshordozóra kifejtett erõt megszorozzuk e számmal, akkor a ds hosszúságú drótdarabra kifejtett eredõ erõt kapjuk.

$$\vec{F}_{ds}=n\vec{F}_{1}=N\, A\, ds\, q[\vec{V}_{d}\times \vec{B}]$$

Ennek térfogategységre jutó része (az A*ds térfogattal osztunk) a Lorentz erõ sûrûsége: $\vec{f}=\vec{j}\times \vec{B}$ amely igen fontos szerepet játszik mágneses mezõben áramló vezetõ közegek hidrodinamikájának mozgásegyenletében. (Magneto-H idro-Dinamika). Itt persze már ismert tényként kezeltük az áramsûrûség $\vec{j}=q\, N\, \vec{V}_{d}$ driftsebességgel kifejezett formáját.

Mivel a töltések nem lépnek ki a drót falán, az áramsûrûség vektor, és a ds ívelem irányítása megegyezik, mindegy, hogy az irányt kifejezõ $\vec{e}$ egységvektort melyikhez kapcsoljuk $ds\vec{V}_{d}=ds\, (V_{d}\vec{e})=V_{d}(ds\vec{e})=V_{d}d\vec{s}$ .

$$\vec{F}_{ds}=qNV_{d}\, A\, [d\vec{s}\times \vec{B}]=I\, [d\vec{s}\times \vec{B}]$$ (6)

Amint az fölismerhetõ, alkalmaztuk az áram, és áramsûrûség között fönnálló elemi kapcsolatot: I=jA. Az ampererõ ( 6)-es formulájának létezik egy egyszerûsített és közismertebb változata. Ha az l hosszúságú egyenes drót merõleges a homogén mágneses indukció vonalaira, akkor az erre kifejtett erõ F=B I l mezei formulával adható meg. Ezek a formulák és a hozzájuk kapcsolódó jelenségek elvi lehetõséget nyújtanak a B mágneses indukció mérésére, sõt definiálására is.

Néhány érdekes jelenség következik az eddigiekbõl. Két, párhuzamos, hosszú, egyenes vezetõben I1, és I2 áram folyik. Legyen a drótok távolsága r. Az 1-es drót árama mágneses mezõt 'gerjeszt' a 2-es drót helyén is. Az ehhez tartozó mágneses indukciótérben csordogál az I2 áram, azaz az 1-es drót árama bizonyos mágneses közvetítõkön keresztül erõt fejt ki a 2-es drót áramára. Ha most átmegyünk mutogatós bácsiba, és alkalmazzuk a jobbkéz, dugóhúzó, balláb, jobbcsavar és egyéb szabályokat, akkor arra a fölismerésre jutunk, hogy az egyirányú áramok vonzzák, az ellentétes irányú áramok taszítják egymást. Ez persze nem csupán drótilag elkülönült áramok között lép föl, hanem egyetlen vezetõ keresztmetszetén kiszemelt áramfonalak között is.

A 2-es drót l-hosszúságú szakaszára kifejtett erõ a következõk szerint számítható:

$$H=\frac{I_{1}}{2*\pi }\frac{1}{r}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,......\, \, \, \, \, \, \, F_{2}=BI_{2}l=\mu _{o}\frac{I_{1}I_{2}}{2*\pi }\frac{l}{r}$$

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató