Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató

Váltakozó áramok

Mivel egyedüli túlélõként az $I_{ih.part}$ maradt a porondon, a bokájára kötött megkülönböztetõ szalagocska már feleslegessé is vált, azaz a továbbiakban õ lesz az I(t) áramerõsség. Tudjuk, hogy ha az inhomogenitást jelentõ függvény $\omega$ körfrekvenciájú periódikus függvény, akkor a partikuláris megoldást is $\omega$ körfrekvenciájú periódikus függvény alakjában kereshetjük. A feszültséget $U_{o}e^{i(\omega t+\varphi )}$ alakban adjuk meg, az áramot $I_{o}e^{i\omega t}$ alakúnak tekintjük. Az áramot tehát fázisállandó nélkülinek tekintjük. Ezt egyébként jogunkban áll megtenni, mivel csupán azt jelenti, hogy az adott jelenség leírásához idõmérésünk mikor indul, azaz a stopperóránk indítógombját mikor nyomjuk le.

A váltakozóáramok komplex írásmódját használjuk, azzal a megállapodással, hogy fizikalag értelmezhetõ, és mérhetõ mennyiségeket a komplex mennyiségek valós részei jelentenek. Ez a komplex írásmód, a látszat ellenére, jelentõsen egyszerûsíti a formuláinkat. Hogy a továbbiakban könnyedén áttérhessünk az egyik formáról a másikra, néhány közkézen forgó változatot megemlítünk.

$$\hat{U}(t)=U_{o}e^{i(\omega t+\varphi )}=U_{o}(\cos (\omega t+\va......\omega t+\varphi ))=U_{o}e^{i\varphi }e^{i\, \omega t}=\hat{U}_{o}e^{i\omega t}$$

A összefüggéseinkben a kalapkák komplex mennyiségeket jelölnek.

$$\hat{I}(t)=I_{o}e^{i\omega t}\, \, \, \, \, \, \, \, \, d\hat{I}/......ga t}\, \, \, \, \, \, \, \, d^{2}\hat{I}/dt^{2}=-\omega ^{2}I_{o}e^{i\omega t}$$

A feszültség és az áram megfelelõ deriváltjait az inhomogén egyenletbe helyettesítve kapjuk a következõt:

$$-L\omega ^{2}I_{o}e^{i\omega t}+i\omega \, R\, I_{o}e^{i\omega t}+\frac{I_{o}}{C}e^{i\omega t}=i\omega \, U_{o}e^{i\varphi }e^{i\, \omega t}$$

Osztva mindkét oldalt $i\omega$-val, majd a nevezõbõl i/i szorzással eltüntetve az imaginárius egységet kapjuk az alábbi formákat:

$$i\, L\omega \, I_{o}e^{i\omega t}+R\, I_{o}e^{i\omega t}-i\frac{I_{o}}{\omega \, C}e^{i\omega t}=U_{o}e^{i\varphi }e^{i\, \omega t}$$ (9)

Természetesen az átrendezések mindegyike egy ici-picit mást mond:

$$i\, L\omega \, \hat{I}(t)+R\, \hat{I}(t)-\frac{i}{\omega \, C}\ha......\, \, \, [i\, (L\omega \, -\frac{1}{\omega \, C})+R\, ]\, \hat{I}(t)=\hat{U}(t)$$

Az elsõ formula baloldalán azonosíthatjuk az egyes áramköri elemeken jelentkezõ feszültségeket, s jobboldalon ezek összegét.

$$\hat{U}_{R}=R\, \hat{I}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ......, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \hat{U}_{C}=-\frac{i}{\omega \, C}\hat{I}$$ (10)

E formulák egyúttal az Ohm törvény komplex alakját is reprezentálják. Ezek mindegyike $\hat{U}=\hat{Z}\, \hat{I}$ alakú, ahol Z jelöli hagyományosan a komplex impedanciát -akarom mondani a komplex váltakozóáramú ellenállást.

$$\hat{Z}_{R}=R\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \......\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \hat{Z}_{C}=-\frac{i}{\omega \, C}$$

Fölismerjük továbbá az eredõ komplex ellenállást is, amely a sorbakapcsolt elemek komplex impedanciáinak összege. Ennek az abszolutértékét is megadjuk:

$$\hat{Z}_{e}=R+\, i\, (L\omega \, -\frac{1}{\omega \, C})\, \, \, ......\, \, \, \, \, \, Z_{o}=\sqrt{R^{2}+\, (L\omega \, -\frac{1}{\omega \, C})^{2}}$$

Ha a (9) egyenletben az $e^{i\, \omega t}$ -vel egyszerûsítünk, akkor azt látjuk, hogy az eddig elmondottak - pl az Ohm törvény 10 alakjai - nem csak a pillanatnyi értékekre, hanem az amplitudókra is változatlan formában érvényesek.

A következõkben Ohm törvényének alkalmazását tisztázzuk komplex váltakozóáramú ellenállásokra. Mint minden komplex mennyiség, így a komplex ellenállások is megadhatók a következõ alakban: $\hat{Z}=Z_{o}e^{i\vartheta }$ . Ha az áramot választjuk fázisállandó nélkülinek, ( azaz $I_{o}e^{i\omega t}$ alakú ) akkor az "U= R I" Ohm törvény a következõkhöz vezet:

$$\hat{U}=Z_{o}e^{i\vartheta }\, I_{o}e^{i\omega t}=Z_{o}I_{o}\, e^{i(\omega t+\vartheta )}=U_{o}e^{i(\omega t+\vartheta )}$$

Két dolgot látunk, egyrészt a feszültségamplitudót is Ohm törvénnyel kaptuk $U_{o}=Z_{o}I_{o}$ , érdekesebb azonban az, hogy az elektromos feszültség fázisa $\vartheta$ értékével nagyobb az áram fázisánál. Az áram és a feszültség tehát nincs ( azonos ) fázisban, s e fáziskülönbség a komplex váltakozóáramú ellenállás fázisszögétõl származik.

A fentieket alkalmazzuk pl. egy L önindukciós együtthatójú tekercsre. Elõször azonban az imaginárius egység átírását adjuk meg:

$$e^{i\pi /2}=\cos \frac{\pi }{2}+i\, \sin \frac{\pi }{2}=i$$

$$\hat{Z}_{L}=iL\omega =L\omega \, e^{i\pi /2}\, \, \, \, \, \, \, ......\, \, \, \hat{U}=\hat{Z}\, \hat{I}=L\, \omega \, I_{o}\, e^{i(\omega t+\pi /2)}$$

A feszültségamplitudó tehát $U_{o}=L\, \omega \, I_{o}$ . Kiolvashatjuk továbbá azt is, hogy az önindukciós tekercsen a feszültség fázisa $90^{o}-al$   vagyis  $\pi /2$-vel siet az áram fázisához képest. Ha a másik mennyiséget választjuk referenciául akkor ugyanezt a fizikai tényt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy az áram késik a feszültséghez képest $\pi /2$ -vel egy önindukciós tekercsen.

Effektív érték

A mérnöki praxisban igen gyakori, hogy egy idõben ( térben ) változó dolgot, vele valamilyen szempontból egyenértékû, idõben ( térben ) állandó mennyiséggel jellemeznek. Egy ilyen állatfajta az un. effektív érték fogalma is. A T periódusidejû, idõben változó áram ( feszültség ) effektív értéke alatt annak az egyenáramnak az áramerõsségét értjük, amely ugyanazon ohmikus ellenálláson, ugyanannyi idõ alatt ugyanannyi munkát végez mint a váltakozóáram.

Egyenáram teljesítményét, de idõben változó áram / feszültség pillanatnyi teljesítményét is a $P=U\, I\, =\, I^{2}\, R$ kifejezés adja meg. Az Ieff egyenáram, és a váltóáram T idõ alatt végzett munkája egyenlõ:

$$I_{eff}^{2}R\, T=\int ^{T}_{o}I^{2}(t)\, R\, dt$$

Ennek átrendezett formája adja az idõben változó áram effektív értékét:

$$I_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int ^{T}_{o}I^{2}(t)\, dt}$$

Az integrálás határait lazábban is megadhatjuk. A nullával kezdõdõ intevallum helyett bármilyen t és t+T közé esõ intervallum írható. Ha a kisérletes meghatározásra gondolunk, akkor integrálási tartományként alkalmazhatjuk a T periódusidõ egészszámú többszörösét, vagy egyszerûen minden megkötés nélkül olyan nagy idõtartamot, hogy a töredékperiódus járuléka a teljes integrálhoz képest elhanyagolhatóan piciny legyen.

Feszültség effektív értékét hasonló összefüggés adja meg mivel a teljesítményt

$$P=U*I=I^{2}*R=U^{2}/R$$

alakban is megadhatjuk.

Hálózati konnektorunkból (dugaszoló aljazatból) ideális esetben tiszta coszinuszos (szinuszos) delej csorog ki, amely ohmikus terhelésen ugyanolyan fázisú feszültséghez vezet. Ennek effektív értékét határozzuk meg.

$$U_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int ^{T}_{o}U^{2}(t)\, dt}=\sqrt{\frac{1}{T}\int ^{T}_{o}U^{2}_{o}\cos ^{2}(\omega t)\, dt}$$

Tudjuk, hogy $\cos (2\omega t)=\cos ^{2}(\omega t)-\sin ^{2}(\omega t)=2\cos ^{2}(\omega t)-1$ amely alapján a $\cos ^{2}(\omega t)=(1-\cos (2\omega t))/2$ helyettesítéssel csõre tölthetõ az utóbbi integrál

$$\int ^{T}_{o}U^{2}_{o}*(1/2-\cos (2\omega t)/2)\, dt=TU^{2}_{o}/2$$

mivel az integrálás $T=2\pi /\omega$ határig a cos-ra nullát ad. Az eredményt a gyökjel alá írva kapjuk, hogy:

$$U_{\textrm{eff}}=\frac{U_{o}}{\sqrt{2}}$$

Háztartási feszültségünk effektív értéke 230 Volt. Ez azt jelenti, hogy ha vasalónkat, izzólámpáinkat, stb. a hálózat helyett 230 Voltos egyenfeszültséggel etetnénk, nem tapasztalnánk különbséget.

Hálózati feszültségünk csúcsértéke (amplitudója) a fenti összefüggés alapján Uo=325.3 Volt. Annyit még feltétlenül illik tudni, hogy a két kivezetés egyike az elvileg zérus potenciálú un. föld vezeték, a másik kivezetésen (ez a fázisvezeték) jelenik az elõbbihez képest -325.3 és +325.3 között 50-Hz frekvenciával szinuszosan váltakozó feszültség. A harmadik, un. védõföldnek zárlatos eszköz esetén életvédelmi funkciója van.

Ha a terhelésünk nem tisztán ohmikus jellegû, akkor a feszültség és az áram között fáziskülönbség (idõbeli eltolódás) jelenik meg. A teljesítmény pilanatnyi értékét ekkor is a feszültség és az áram pillanatnyi értéke határozza meg:

$$P(t)=U(i)*I(t)=U_{o}I_{o}\cos (\omega t)\cos (\omega t+\varphi )$$

Alkalmazásainkban ennek idõátlaga fontos, ezt hatásos teljesítménynek nevezzük.

$$P_{h}=U_{o}I_{o}\frac{1}{T}\int _{o}^{T}\cos (\omega t)\cos (\omega t+\varphi )dt$$

A cos argumentum összegre vonatkozó kifejtés után kapjuk a következõ integrandusht:

$\cos ^{2}(\omega t)\cos (\varphi )-\cos (\omega t)\sin (\omega t)\sin (\varphi )$ . Az elsõ tag, az effektív éréknél megismert módon szolgáltatja a $T\cos (\varphi )/2$ kifejezést, a második pedig nullát ad (f' f dx alakú azaz ydy -re vezet y=cos helyettesítéssel, ez pedig 0, 2Pi, 4Pi helyeken ugyanazt az értéket veszi föl). Végsõ formulánk a hatásos teljesítményre

$$P_{h}=\frac{1}{2}U_{o}I_{o}\cos (\varphi )=U_{eff}I_{eff}\cos (\varphi )$$

miután a 2-t testvériesen elosztottuk $\sqrt{2}$ -k formájában az Io és az Uo között. Ha a fáziskülönbség nem nulla, akkor $\cos (\varphi )<1$ . Ez az érték egyébként független a fáziskülönbség elõjelétõl, mivel a cos páros függvény. Ugyanazon ( $\varphi =0$ -hoz tartozó) teljesítmény létrehozásához nagyobb áramot kell átzavarnunk a hálózaton, annak arányában, hogy a cos mennyivel kisebb mint 1. A nagyobb áram, a hálózat adott ellenállása miatt a hálózaton jelentkezõ veszteségeket növeli. Fogyasztóink jelentõs (nem ohmikus) része indukdív jellegû. A villanymotorok, a transzformátorok önindukcióval rendelekezõ tekercseket tartalmaznak, ezek hatását gyakran un. fázisjavító kondenzátorok beiktatásával igyekeznek kompenzálni.

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató