Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ

Az EM mezõ energia mérlege

A Maxwell egyenletek rendszere is, mint minden más vérbõ axiómarendszer, az egyes egyenletek közvetlen fizikai tartalmán túl, számos mögöttes igazságot is magábafoglal. Ilyenek az EM hullámok, vagy éppen a töltésmegmaradás törvénye, amelyet a gerjesztési törvény divergenciája alapján kaphatunk. Ezen fejezetben azonban egy másik mérlegegyenletet vezetünk le a Maxwell egyenletekbõl, az elektromágneses mezõ energiájának mérlegegyenletét.

Extenzív mennyiségek mérlegegyenletével a korábbi félévben foglalkoztunk. Említetttük, hogy az ott elkövetett levezetés nem levezetés, hanem egy elfogadott tartalmú, szemléletes jelentésû leltárnak adtunk matematika megfogalmazást. Az igazi célja azonban az volt, hogy ha formájában megegyezõ egyenletet kapunk, akkor boldogan fölkiáltsunk, megértvén annak tartalmát, jelentését és jelentõségét.

A könnyebb emészthetõséget elõsegítendõ, a mérlegegyenlet népiesh változatát ujra tálaljuk.

Azt vizsgáljuk, mennyivel, és mi okok miatt változik meg Miskolcz határain belül levõ emberek száma mondjuk reggel 5 és 10 óra között. Tudjuk, hogy autók, vonatok hozzák, viszik az embereket. Miskolc határai mentén számba lehet venni, mennyien lépnek ki, s be. Egyes határrészeken nagy ember-áramokat tapasztalunk, más helyeken nincs ember-áramlás. A ki és belépõk nettó összege adja meg a belül levõk növekményét. Itt aztán vége is lenne a mesének, és ez szép is lenne, ha érvényes lenne az embermegmaradási törvény. Tudjuk azonban, ez hosszabb távon nem teljesül, vannak nyelõpontok, s vannak források is. Az össznépi játékból kihulló pácienseket eltüntetik az erre kijelölt hivatalos nyelõpontoknál, vannak azonban források is, a szülõszobák. Hozzáadva az így 'keletkezettek' elõjeles összegét, a vizsgált tartomány határán keresztül beáramlottak nettó összegével, megkapjuk bennlévõk számának pontos növekményét. Arról persze semmit nem tudunk ezek alapján mondani, hogy bent mennyien vannak, csupán a vizsgált idõtartam alatti változásról tudtunk valamit állítani. Bármilyen meglepõ, is a fizika számos bonyolultnak tünõ egyenelete csupán ennyit mond ki valamilyen fizikai mennyiségrõl, legfeljebb egzaktabb fogalmakat használ. A fent elmondottakat a következõ matematikai formában fogalmazhatjuk meg:

$$\frac{d}{dt}\int _{V}\rho dV=-\oint _{A(V)}\vec{j}\, d\vec{A}+\int _{V}f\, dV$$

A $\rho$ sûrûség térfogati integrálja adja V térfogatba foglalt össztömeget, ennek idõderiváltja adja ezen bennfoglalt össztömeg idõegység alatti változását. Megjegyezzük, hogy amíg az extenzív sûrûsége hely és idõfüggõ, az össztömeg már csak az idõtöl függ. Az integrálási tartományt merevnek -idõben állandónak- tekintjük.

Ez volt tehát a baloldal. A jobboldal második -térfogati - integrálja adja a teljes térfogatban idõegység alatt keletkezõ, és eltûnõ mennyiség nettó összegét. f-et forrássûrûségnek nevezzük, pozitív értékû részeit forrásnak, a negatív elõjelûeket nyelõknek becézzük. j az illetõ extenzív mennyiségének szállítását írja le, õ az áramsûrûség vektor. Megadja az áramlás irányára merõleges egységnyi felületen idõegység alatt átáramló extenzív mennyiségét. Valamely felületre képzett integrálja az adott felületen létrehozott áramerõsséget szolgáltatja. Zártfelületi integrálja a teljes felület áramát adja. A kifelé elkövetett áramlás csökkenti a bent levõ összmennyiséget, így a kifelé mutató felületi normálisok miatt kell a negatív elõjelet alkalmaznunk. A jobboldali két integrál -sorrendben- adja a felületen való ki / be áramlás, a teljes térfogatban a keletkezés / eltûnés járulékait e belül levö mennyiség növekményében.

A továbbiakban tehát hasonló egyenletet kívánunk származtatni a Maxwell egyenletekbõl kiindulva az EM mezõ energiájára. A forma azonossága, és az egyes mennyiségek poziciója azonosítja majd az egyes mennyiségek fizika jelentését.

Skalárisan szorozva a gerjesztési törvényt kifejezõ egyenletet -E vel, a nyugalmi indukció egyenletét pedig H -val kapjuk a következõket:

$$-\vec{E}\, rot\vec{H}=-\vec{E}\, \vec{j}-\vec{E}\, \frac{\partial......\, \, \vec{H}\, rot\, \vec{E}=-\vec{H}\, \frac{\partial \vec{B}}{\partial \, t}$$

Itt persze tudjuk hogy az áramsûrûségvektor egy egész sor áramsûrûségtipust tartalmazhat:

$$\vec{j}=\gamma \vec{E}+\gamma \vec{E}^{*}+\gamma \, \vec{v}\times \vec{B}+\rho \vec{v}$$

A $\gamma$ elektromos vezetõképességet tartalmazó tagok mindegyike vezetési (konduktív áramot) takar. Különbségek az elektromos mezõ eredetében vannak. $\vec{E}^{*}$ az un. beoltott, vagy idegen térerõt jelöli (ilyen mûködik a zseblámpa elemben, aholis kémiai átalakulásból szerzett energia töltéseket képes 'szivattyúzni'). A $\vec{v}\times \vec{B}$ , a Lorentz erõ következményeként fellépõ térerõsség. Szerepe igen jelentõs ionizált, vezetõképes gázok, folyadékok mágneses térben történõ áramlása esetén (pl Nap, csillagok). Régi ismerõsünk a töltés konvektív áramsûrûségét leíró $\rho \vec{v}$ . Itt a közeg áramlása során magával cipeli töltését, ennek töltéssûrûsége a $\rho$.

Az egyenletek összeadása a következõkhöz vezet:

$$\vec{E}\, \frac{\partial \vec{D}}{\partial \, t}+\vec{H}\, \frac{......\gamma \vec{E}+\gamma \vec{E}^{*}+\gamma \, \vec{v}\times \vec{B}+\rho \vec{v})$$ (11)

Az egyenlet értelemzéséhez néhány definíciót vezetünk be.

Az elektromos mezõ energiasûrûségét a következõ kifejezés adja meg.

$$\rho _{e}(\vec{r},\, t)=1/2\, \vec{D}\vec{E}=1/2\, \epsilon \, E^{2}=1/2\, \epsilon \, (E^{2}_{x}+E^{2}_{y}+E^{2}_{z})$$

Itt persze több egyenértékû, jelölésmódjában különbözõ formát adtunk meg. (anizotrop közegre azért ez nem egészen így igaz). Egysége $As/m^{2}*V/m=VAs/m^{3}=Joule/m^{3}$

Ennek idõszerinti deriváltja a következõ:

$$\frac{\partial \rho _{e}}{\partial t}=1/2\, \epsilon \, (2\, E_{x......}\, \partial E_{z}/\partial t)=\vec{E}\, \frac{\partial \vec{D}}{\partial \, t}$$

Örömmel ismerjük föl ebben tehát az (11 ) egyenlet baloldalának elsõ tagját.

Azonos jelentésû mennyiség vezethetõ be a mágneses mezõ kapcsán is. Itt már szükségtelen minden lépés részletezése. A mágneses tér energia sûrûsége, és annak idõderiváltja a következõ:

$$\rho _{m}(\vec{r},\, t)=1/2\, \vec{H}\vec{B}\, \, \, \, \, \, \, ......frac{\partial \rho _{m}}{\partial t}=\vec{H}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

Az EM mezõ energiasûrûségén az elektromos, és mágneses mezõk energiasûrûségeinek összegét értjük.

$$\rho _{em}=1/2\, \vec{D}\vec{E}+1/2\, \vec{H}\vec{B}\, \, \, \, \......rac{\partial \vec{D}}{\partial \, t}+\vec{H}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

(11) elsõ két tagjában ezen idõderiváltak jelennek meg.

Az $\vec{S}(\vec{r},\, t)=\vec{E}\times \vec{H}$ vektort Poynting vektornak nevezzük, s az EM mezõben az EM energia szállítását írja le. Hivatalos megnevezése szerint Õ az EM tér energia-áramsûrûség-vektora. Megadja az áramlás irányára (S irányára) merõleges egységnyi felületen, idõegység alatt átáramló EM energiát. Egysége $V/m*A/m=VA/m^{2}=Watt/m^{2}$ . Ezt alkalmanként felületi teljesítménysûrûségnek is titulálják. Egy kiszemelt A felületen átáramló EM energiát a következõ felületi integrállal adhatjuk meg:

$$I=\int _{A}\vec{S}(\vec{r},\, t)\, d\vec{A}$$

Számtanórán megtanulhatjuk, vagy egyszerûen kézikönyvekbõl kiolvashatjuk a következõ azonosságot: $div[\vec{V}_{1}\times \vec{V}_{2}]\equiv \vec{V}_{2}rot\vec{V}_{1}-\vec{V}_{1}rot\vec{V}_{2}$ , vagyis ( 11) eddig nem tárgyal tagjai a $div\, \vec{S}$ kifejezés szétdarabolt változatát tartalmazzák. Egybehordva az eddigieket kapjuk:

$$\frac{\partial \rho _{em}}{\partial t}+div\vec{S}=-\gamma \vec{E}......*}\vec{E}\, -\gamma \, \vec{E}\, [\vec{v}\times \vec{B}]-\rho \vec{E}\, \vec{v}$$ (12)

Amúgy azonnal fölismerjük a számtalanszor idézett mérlegegyenletet, melynek integerális formája a következõ:

$$\frac{d}{dt}\int _{V}\rho _{em}dV=-\oint _{A(V)}\vec{S}\, d\vec{A}+\int _{V}f\, dV$$

Ennek jelentését már sokszor felidéztük, most a szóbanforgó témához illõ szóhasználatot kell csupán behelyettesítenünk a tartalmilag változatlan mondanivalóhoz.

A baloldal a V térfogatba foglalt EM energia változási sebességét, vagy ha úgy tetszik, ezen energia idõegység alatti megváltozását fejezi ki. Hogy ezen változások milyen fizikai okok miatt és milyen mértékben következnek be, errõl ad számot a jobboldal. A Poynting vektor szállítja az elektromágneses energiát, ennek zártfelületi integrálja adja meg V térfogatba idõegység alatt szállítot nettó elektromágneses energiát. A negatív elõjel annak következménye, hogy a térfogatot magábazáró zárt felület kifelé szõrös, azaz a normálvektorai a kifelé mutatnak, igy a befelé folyó áramok skaláris szorzata a normálvektorral negatív értéket szolgáltatnak. A -1 -el való szorzás helyre állítja lelki békénket, azaz a befelé folyó áramok ezek szerint növelik a benn levõ energia mennyiségét.

A fizikai aktualitások a forrásokba és a konduktív áramokba vannak belerakva, ti. a többiek ``egy kaptafára'' mennek minden extenzív mennyiségre. Most ezek tartalmát és jelentését nézegetjük. Mint azt az extenzív mennyiségek mérlegegyenletének korábbi tárgyalásánál láttuk, a idõegység alatt, térfogategységben keletkezõ eztenzív mennyiségét a forrássûrûséggel adjuk meg, pozitív -keletkezõ mennyiség- esetén forrásról, eltûnõ extenzív, azaz negatív forrás esetén nyelõrõl beszélünk. Esetünkben a forrás alakja a következõ:

$$f=-\gamma \vec{E}^{2}-\gamma \vec{E}^{*}\vec{E}\, -\gamma \, \vec{E}\, [\vec{v}\times \vec{B}]-\rho \vec{E}\, \vec{v}$$ (13)

Ezek mindegyike teljesítménysûrûséget ír le, így egységük $W/m^{3}$ -ben adható meg. Itt számos ismerõssel találkozunk. Elektrosztatikából tudjuk, hogy a q ponttöltésre kifejtett erõt a az $\vec{F}=q\vec{E}$ formában írhatjuk föl. Mechanikában tanult ismereteink alapján ezen erõ teljesítményét a $P=\vec{F}\vec{v}=q\vec{E}\vec{v}$ alak szolgáltatja. Itt $\vec{v}$ a töltött részecske, illetve térfogatelem sebességvektora. A teljesítmény térfogategységre jutó része a $\rho \vec{E}\, \vec{v}$ kifejezés. ($\rho$ ebben a térfogati töltéssûrûség) (13) utolsó tagjaként pontoson ezt látjuk de negatív elõjellel. Ennek mélyenszántó erkölcsi tartalma van, nevezetesen amikor olyat mondunk, hogy az elektromos mezõ felgyorsítja a töltött részecskét, qU munkát végezvén rajta, akkor itt azt látjuk, hogy bizony ezért az elektromos mezõ saját energiájának csökkenésével fizet. Persze az $-\rho \vec{E}\, \vec{v}$ aktuális értékének elõjele pozitív is lehet amely azt jelenti, hogy a töltött részecske mechanikai energiájának csökkenése az elektromos mezõ energiáját növeli.

Könnyen azonosítható a $P=UI$ teljesítmény térfogategységre jutó megfelelõje, a $-\vec{E}\vec{j}$ az un. Joule hõ, ugyanis homogén áramsûrûséget feltéve, az A keresztmetszetû, l hosszúságú ellenállás térfogategységében a teljesítmény megadható mint

$$P/V=UI/(A\, l)=(U/l)(I/A)=Ej$$

A $\vec{j}=\gamma \vec{E}$ Ohm törvény differenciális alakjának alkalmazásával jutunk a következõ formához: $-\vec{E}\vec{j}=-\gamma \vec{E}^{2}$ . A $-\gamma \vec{E}^{2}$ mindig negatív éréket szolgáltat, azaz a Joule hõ csökkenti az EM mezõ energiáját, viszont ettõl világít az izzólámpa, s ettõl meleg a vasaló. Ugyancsak ezen Joule hõ, azaz a vezetés jelensége kapcsán eltüntetett EM energia rovására írható, hogy jó vezetõ anyagokon nem hatolnak át az EM hullámok, így például nem látunk át egy aluminium lemezen. ( De akkor miért látunk át vezetõ elektrolitokon, és miért nem megy át a fény például egy darab téglán? )

A beoltott, vagy idegen térerõ teljesítménysûrûségét írja le a $-\gamma \vec{E}^{*}\vec{E}\,$ kifejezés. Zseblámpaelem, vagy akkumlátor tartósan képes termelni EM energiát, illetve pl akkumlátor töltésekor elnyelni. Ezen említett jelenségekben kémiai átalakulások termelik, illetve nyelik el az energiát.

Energiát termelhetünk a $-\gamma \, \vec{E}\, [\vec{v}\times \vec{B}]$ kifejezés alapján akár ipari méretekben is. Bizonyára emlékszünk arra, hogy ezen tag a Lorentz erõ nyomán értelmezett mozgási indukcióról ad számot. Ezek szerint generátorok mágneses terében mindenféle dróttekercseket forgatva mechanikai munkát válthatunk át EM energiává. Nem kizárt azonban, hogy gyakoribb megoldás az, hogy a tekercsek állnak, és a mágnesek forognak. Érdemes felhívni a figyelmet arra, hogy a mágneses mezõben mozgó vezetõ közegekkel kapcsolatos jelenségek alapvetõ fontosságúak a csillagok életében.

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ