Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató

Elektromágneses hullámok

A Maxwell egyenletek csatolt, parciális differenciálegyenletek az elektromos és a mágneses mezõkre. Némi átalakítással azonban olyan egyenletekhez juthatunk, amelyek csupán az elektromos, vagy csak a mágneses terekre vonatkoznak.

Homogén, izotrop, töltésmentes közegben vizsgálódunk. Kiindulásul ugyan vezetõ közeget is megengedünk, de részletesebb számolásokat csupán szigetelõkre követünk el. Az eddig elmondottak a következõket rögzítik:

$$\vec{j}=\gamma \vec{E}$$

$$div\vec{D}=\rho \, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \, \, d......on _{o}div\vec{E}=0\, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \, \, div\vec{E}=0$$ (14)

$$div\vec{B}=0\, \, \, \, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \,......\vec{H})=0\, \, \, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \, \, \, div\vec{H}=0$$ (15)

$$rot\vec{H}=\vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial \, t}\, \, \,......\gamma \vec{E}+\epsilon _{r}\epsilon _{o}\frac{\partial \vec{E}}{\partial \, t}$$ (16)

$$rot\, \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial \, t}\, \, \, \, ...... \, \, \, rot\, \vec{E}=-\mu _{o}\mu _{r}\frac{\partial \vec{H}}{\partial \, t}$$ (17)

Az utolsó egyenlet rotációját képezzük.

$$rotrot\vec{E}=-\mu _{o}\mu _{r}\frac{\partial rot\vec{H}}{\partial \, t}$$ (18)

A baloldal számtanórán tanult azonosság alapján átalakítható:

$rot\, rot\, \vec{E}=grad\, div\, \vec{E}-\Delta \vec{E}$   melynek i-edik koordinátája:

$rot_{i}\, rot\, \vec{E}=grad_{i}\, div\, \vec{E}-\Delta E_{i}$

Itt a jobboldal elsõ tagja nulla (14 ) egyenlet miatt. (18) jobboldalában található rot H a gerjesztési törvény ( 16) alakjával helyettesíthetõ. Az eddigieket most egy kupaczba hordva (18) most így olvasható:

$$\Delta \vec{E}=\mu \, \gamma \, \frac{\partial \vec{E}}{\partial \, t}+\epsilon \mu \frac{\partial ^{2}\vec{E}}{\partial \, t^{2}}$$ (19)

Elkövettünk egy szorzást (-1) -el, valamint alkalmaztuk $\epsilon \, -ra,\, \mu -re$ a $\mu =\mu _{o}\mu _{r}$ típusú rövidebb írásmódot.

(19) a homogén hullámegyenlet vezetõ közegre. Ha (19)-ben a közeg vezetõképessége $\gamma =0$, akkor kapjuk az alábbi homogén hullámegyenletet szigetelõ közegekre, illetve vákuumra:

$$\Delta \vec{E}=\epsilon \mu \frac{\partial ^{2}\vec{E}}{\partial \, t^{2}}$$ (20)

Ilyennel már találkoztunk a hidrodinamika egyenleteinek linearizálása nyomán. Megjegyezzük, hogy a mágneses mezõre ugyanezen egyenletek érvényesek. Ha a (16) rot képzésével kezdjük az átalakítást akkor jutunk a mágneses térre érvényes hullámegyenlethez, ezzel azonban nem foglalkozunk.

(20) vektoregyenlet szétesik az egyes térerõ koordinátákra vonatkozó egyenletekre. Itt csak az elektromos mezõ x koordinátájára írjuk föl de észben tartjuk, hogy hat db ilyen egyenletünk van, három db az elektromos tér koordinátáira, és három a mágneses mezõre.

$$\Delta E_{x}=\epsilon \mu \frac{\partial ^{2}E_{x}}{\partial \, t^{2}}$$

Ezek parciális differenciálegyenletek a meghatározandó Ex(x,y,z,t) függvény és társai számára. A hullámegyenlet némileg csalóka, ti. nem ad számot az elektromos és mágneses tér csatolásáról. Ha tehát találunk hullámegyenlet megoldásokat, ezek olyan megoldásfüggvényeket is tartalmazhatnak, amelyek ugyan megoldásai a hullámegyenletnek, de nem írhatnak le elektromágneses hullámokat. A hullámegyenlet megoldásaival tehát vissza kell zarándokolnunk az eredeti Maxwell egyenletekhez, hogy megállapíthassuk, a megoldások közül melyek lehetnek EM hullámok.

A legegyszerûbb megoldástipust monokromatikus síkhullám formájában tudjuk megadni. A síkhullám megoldás alakja a következõ

$$\vec{E}(\vec{r},\, t)=\vec{E}_{o}e^{i(\omega \, t-\vec{k}\, \vec{r}+\varphi )}$$ (21)

A monokromatikus síkhullámok tulajdonságaival, jellemzésükhöz szükséges fogalmak definícióival a hanghullámok kapcsán már foglalkoztunk. Itt, túlzott részletezés nélkül futjuk át az alapismereteket.

$\vec{E}_{o}$ jelenti az EM hullám elektromos részének amplitudó vektorát.

A $\Phi (\overrightarrow{r},\, t)=\omega \, t-\vec{k}\, \vec{r}+\varphi$ mennyiség a hullám fázisa.

$\omega$ a hullám körfrekvenciája, $\varphi$ pedig a kezdõfázisa.

$\omega$ kapcsolata más, idõbeli periodicitást jellemzõ mennyiségekkel a következõ:

$\omega =2\pi /T=2\pi \, f$ . Itt T a periódusidõt -ennyi idõ alatt változik a fázis értéke $2\pi$ -vel-, f a frekvenciát, vagyis a másodpercenként lejátszódó periódusok számát jelöli. A fény színét frekvenciája határozza meg, s itt (21)-ban mivel egyetlen frekvencia szerepel, õt monokromatikus (egyszínû) hullámnak nevezzük. Könnyen ellenõrizhetõ, hogy ha $\vec{E}_{1},\, \vec{E}_{2}$ (21) alakú megoldások $\omega _{1,\, }\omega _{2}$ körfrekvenciákkal, akkor az $\vec{E}=C_{1}\, \vec{E}_{1}+C_{2}\, \vec{E}_{2}$ alakú lineáris kombináció is megoldása (20)-nek. Ez ( 20) egyenlet linearitásának következménye. Így változatos függvényalakok rakhatók össze monokromatikus hullámok szuperpoziciójával, s a monokromatikusokra kifacsart ismereteink nagy része ezekre is ráhúzható. Még tovább mehetnénk a szuperpozició útján, ugyanis a szuperpozició nem csak diszkrét, jól körülhatárolt $\omega _{1,\, }\omega _{2}$ körfrekvenciájú hullámokra kovethetõ el, hanem folytonos frekvenciatartományra is.

A $\vec{k}$ mennyiséget felírjuk a saját irányába mutató $\overrightarrow{n}$ egységvektor, és a vektor k hosszúságának szorzataként $\overrightarrow{k}=k\, \overrightarrow{n}$ . Rögzített $t^{o}$ idõpontban az azonos $\Phi _{0}$ fázisú pontok az

$$\vec{n}\, \vec{r}=(\omega \, t^{o}+\varphi -\Phi _{0})/k=konst$$

sík mentén helyezkednek el. Ez az $\vec{n}\, \vec{r}=konst$ formula, a sík Hesse-féle normálalakja, vagyis az állandó fázisú pontok síkot alkotnak, ezért nevezik az ( 21) alakú hullámot síkhullámnak. Az összefüggésben $\overrightarrow{n}$ a konstans fázisú (sík) felület nomál-egység-vektora.

A térbeli periódicitást jellemzõ periódushossz -a T periódusidõ térbeli megfelelõje- fázisfelületi merõleges irányában mért azon távolság, amelyhez a fázis $2\pi$ növekménye tartozik, ezt hullámhossznak nevezzük, szokásos jelölése $\lambda$ . A definíciót átültethetjük a következõ kifejezésekbe:

$$\omega \, t^{o}-k\, \vec{n}\, \vec{r}+\varphi =\Phi _{o}\, \, \, ......{o}-k\, \vec{n}\, (\vec{r}+\lambda \overrightarrow{n})+\varphi =\Phi _{o}+2\pi$$

Kivonással jutunk a $k*\lambda =2\pi$ , összefüggéshez, amelybõl kapjuk $\lambda =2\pi /k$ . Az $1/\lambda$ mennyiség az 1 m hosszra jutó hullámok számát jelenti. Ez pontos térbeli megfelelõje az idõbeli periódicitás kapcsán bevezetett frekvenciának. Ennek $2\pi$-szerese a körhullámszám, $k=2\pi /\lambda$ amelyet alkalmanként a fázisfelület normálisa irányába mutató vektorként kezelünk $\overrightarrow{k}=k*\overrightarrow{n}$ .

A konstans fázisú felület mozgását követjük. Valamely idõponthoz $\omega \, t^{o}-k\, \vec{n}\, \vec{r}+\varphi =\Phi _{o}$ fázisérték tartozik. Ha az idõ $t^{o}$-ról $t^{o}+\Delta t$ -re növekszik, a fázisfelület normálisa irányába $\Delta s$ -el mozdulunk el, hogy a $\Phi _{o}$ fázis értéke ne változzon: $\omega \, (t^{o}+\Delta t)-k\, \vec{n}\, (\vec{r}+\Delta s\overrightarrow{n})+\varphi =\Phi _{o}$ . Azaz a fázisfelület $\Delta t$ idõtartam alatt $\Delta s$-el mozdult el a normális irányába. Kivonással kapjuk $\omega \, \Delta t-k\, \Delta s=0$ . A fá $rot\, rot\, \vec{E}=grad\, div\, \vec{E}-\Delta \vec{E}$ fázisfelület $c_{f}$ sebessége tehát:

$$c_{f}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{\omega }{k}$$ (22)

Figyelembe véve, hogy $\omega =2\pi f$ valamint azt, hogy $k=2\pi /\lambda$ kapjuk a $c_{f}=\lambda *f$ közismertebb változatot.

Az (21) alakú síkhullámok egy igazán elõnyös sajátságát említettük a mechanikai hullámok kapcsán, aktualitása okán most szószerint idézzük:

A monokromatikus síkhullám komplex írásmódja varázslatos egyszerûsítéseket tesz lehetõvé matematikai mûveleteinkben, némely differenciálási mûveletek algebrai mûveletekkel helyettesíthetõk. Könnyen ellenõrizhetõ, hogy a síkhullám komplex formájára $\partial \vec{E}/\partial t=i\omega \, \vec{E}$ vagyis $\partial /\partial t\, \: \Rightarrow \, \, i\omega$ , amely azt jelenti, hogy az idõszerinti deriválás mûvelete egyszerû algebrai szorzássá egyszerûsödik.

A helykoordináták szerinti deriválások még több lehetõséget kínálnak. Figyelembevéve az exponensben szereplõ skaláris szorzás kifejtését $\vec{k}\, \vec{r}=k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z$ az x koordináta szerint parci. deriválás hatása a monokromatikus síkhullám komplex alakjára így írható:

$$\frac{\partial \vec{E}}{\partial x}=-ik_{x}\, \vec{E}_{o}e^{i(\omega \, t-\vec{k}\, \vec{r}+\varphi )}=-ik_{x}\vec{E}$$ (23)

Tehát $\partial /\partial x\, \: \Rightarrow \, \, -ik_{x}$ . A többi, y és z koordinátákra hasonló eredményeket kapunk. Ezek összefoglalásával a Nabla operátor a következõképpen helyetttesíthetõ:

$$\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\vec{e}_{1}+\frac{\partial }{......\vec{e}_{3}=-ik_{x}\vec{e}_{1}-ik_{y}\vec{e}_{2}-ik_{z}\vec{e}_{3}=-i\, \vec{k}$$

Vagyis röviden $\nabla =-i\, \vec{k}$ . (esetleg $=-i\, k\, \vec{n}$ ). A jelölések egyértelmûsége céljából itt az $\vec{e}_{1},\, \vec{e}_{2},$ .. egységvektor jelöléseket alkalmaztuk a közismertebb $\vec{i},\, \vec{j},$ .. jelölések helyett. A deriválási mûveletek átírás a következõ szabályokhoz vezet. Ha $\vec{a}(\vec{r},\, t)$ egy síkhullámot leíró függvény, akkor a következõk alkalmazhatók:  $div\, \vec{a}=(\nabla \vec{a})=-i(\vec{k}\, \vec{a})=-i\, k\, (\vec{n}\, \vec{a})$ , valamint $rot\, \vec{a}=[\nabla \times \vec{a}]=-i\, [\vec{k}\times \vec{a}]=-i\, k\, [\vec{n}\times \vec{a}]$ . Tudván a Laplace operátor Nabla operátorral felírt alakját, ennek is megadható a hullámszám vektoros átírása, amely a következõ: $\Delta =\nabla ^{2}=(-i\, \vec{k})^{2}=-k^{2}$

A fentiek alapján a Maxwell egyenletek átírása síkhullám alakra a következõ:

Differenciális                                         Síkhullám

$$rot\vec{H}=\vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial \, t}\, \, \,......k\, [\vec{n}\times \vec{H}]=\gamma \, \vec{E}+i\, \omega \, \epsilon \, \vec{E}$$

$$rot\, \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial \, t}\, \, \, \, ......, \, \, \, \, \, -i\, k\, [\vec{n}\times \vec{E}]=-i\, \omega \, \mu \, \vec{H}$$

$$div\, \vec{D}=\rho \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \...... \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, -i\, k\, (\vec{n}\, \vec{D})=0$$

$$div\, \vec{B}=0\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,...... \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, -i\, k\, (\vec{n}\, \vec{B})=0$$

A hullámegyenlet átírása:

$$\Delta \vec{E}=\epsilon \mu \frac{\partial ^{2}\vec{E}}{\partial ......\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, -k^{2}\vec{E}=-\epsilon \mu \omega ^{2}\vec{E}$$

A fenti változat szigetelõkre vonatkozik, a vezetõkben (csillapodva) terjedõ hullámokra az alábbi vonatkozik:

$$\Delta \vec{E}=\mu \, \gamma \, \frac{\partial \vec{E}}{\partial ......{2}\vec{E}=(i\, \mu \, \gamma \, \omega \, -\epsilon \mu \omega ^{2})\, \vec{E}$$

Ennyi elõkészület után, gyorsan kiolvashatjuk e formulák fizikai tartalmát. Elsõként a mezõk forrásaival foglalkozó egyenletek következményeit értelmezzük.

Töltésmentes térben $div\, \vec{D}=0$ amelybõl eljutottunk az $(\vec{n}\, \vec{E})=0$ következményhez. Figyelembe vettük a $\vec{D}=\epsilon \vec{E}$ anyagi egyenletet is, valamint azt, hogy a $-i\, k\, \epsilon \, (\vec{n}\, \vec{E})=0$ csak akkor lehet nulla, ha a skaláris szorzat nulla. A skaláris szorzat nulla értéke a két vektor merõlegességét jelzi, vagyis az EM hullám elektromos része un. transzverzális hullám mert a hullám terjedési irányára ($\vec{n}$) merõleges a síkhullám által leírt fizikai mennyiség vektora ($\vec{E}$). Hasonlóan jutunk ugyanehhez a következményhez a mágneses mezõ kapcsán is. $div\, \vec{B}=0\, \, \, \Rightarrow \, \, \, (\vec{n}\, \vec{H})=0$ , azaz az EM hullám mágneses része is transzverzális hullám. Itt is alkalmaztuk a mágneses mezõkre vonatkozó anyagi egyenletet.

A szigetelõkre érvényes hullámegyenletbõl azt olvashatjuk ki, hogy $-k^{2}=-\epsilon \mu \omega ^{2}$ , vagyis $\omega /k=1/\sqrt{\epsilon \mu }$ errõl a kifejezésrõl megmutattuk, hogy a hullám fázissebességét adja -lásd az 22-es képlet környékét. Vákuumban $\epsilon _{r}=1$ valamint $\mu _{r}=1$ azaz a vákuumbeli fénysebességet következõ kifejezés adja meg:

$$c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon _{o}\mu _{o}}}$$

Ennek egy alapvetõ jelentése az, hogy vákuumban minden EM hullám ugyanazzal a sebességgel terjed, legyen az látható fény, vagy röntgen-sugárzás, vagy éppen rádiófrekvenciás jel. A vákuumbeli fénysebesség nem egyszerûen az EM hullámok sebessége, attól sokkal több, nevezetesen a nem nulla nyugalmi tömegû részecskék - úgymond anyagi részecskék, testek - számára egy el nem érhetõ határsebesség szerepét játssza.

$$c_{n}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon _{r}\mu _{r}}\sqrt{\epsilon _{o}\mu _{o}}}=\frac{c}{\sqrt{\epsilon _{r}}}=\frac{c}{n}$$ (24)

Anyagi közegben a fény fázissebessége lecsökken mivel $\epsilon _{r}>1$ és $\mu _{r}\approx 1$ átlátszó közegre, így semmi akadálya annak, hogy részecskék e közegben a helyi anyagbeli fénysebességtõl gyorsabban haladjanak. Ha töltött részecskék haladnak gyorsabban, mint a helyi fénysebesség, akkor lép fel az un. Cserenkov sugárzás. (Ez egy EM sugárzás, a sugárzás mechanizmusa némi analógiát mutat a szuperszónikus repülõgépek okozta hangrobbanással).

Az elektromos és mágneses mezõk kapcsolatát fejezhetjük ki a gerjesztési törvénybõl, vagy a nyugalmi indukció egyenletébõl:

$$rot\, \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial \, t}\, \, \, \, ......ghtarrow \, \, \, \, \, \vec{H}=\, k/(\omega \, \mu )\, [\vec{n}\times \vec{E}]$$

Annyit azonnal látunk, hogy túl azon, hogy mind az elektromos, mind pedig a mágneses mezõ merõleges a hullám terjedés irányára, ezek egymásra is merõlegesek, hiszen e vektorszorzat eredményvektora merõleges mindkét tényezõvektorra.

A jobboldal együtthatója átalakítható $k/\omega \, =1/c=\sqrt{\epsilon \, \mu }$ . Ennek visszahelyettesítésével kapjuk :

$$\vec{H}=\, \sqrt{\epsilon /\mu }\, [\vec{n}\times \vec{E}]$$ (25)

A fenti összefüggést az amplitudókra is átírhatjuk, csupán piciny $_{o}$ indexeket kell a H és az E mennyiségek bokájára kötnünk.

A EM mezõ energiájának mérlegegyenlete kapcsán bevezettük az elektromos, illetve a mágneses mezõk energiasûrûségét. Most arra vagyunk kíváncsiak, hogy szigetelõkben terjedõ monokromatikus síkhullámban a teljes EM energián milyen arányban osztoznak az elektromos és a mágneses terek.

Az elektromos mezõ energiasûrûsége így néz ki: $\rho _{e}=1/2\, \vec{D}\vec{E}=1/2\, \epsilon \, E^{2}$ . A mágneses mezõé pedig így: $\rho _{m}=1/2\, \vec{H}\vec{B}=1/2\, \mu \, H^{2}=1/2\, \mu \, (\sqrt{\epsilon /\mu }\, [\vec{n}\times \vec{E}])^{2}=1/2\, \epsilon \, E^{2}$ . Látjuk tehát, hogy az elektromos és a mágneses energia sûrûsége megegyezik. Itt fölhasználtuk amit számtanórán tanultunk a vektrorszorzat kifejtésérõl $[\vec{n}\times \vec{E}]\, \, \rightarrow \, \, \vert\vec{n}\vert\, \vert\vec{E}\vert\, sin\alpha =E$ . Ez utóbbi attól van, hogy az n egységvektor, valamint az E és az n szöge nagyon derék, igy a sinusza 1.

Az energián való osztozkodás szempontjából teljesen más a helyzet vezetõ közegekben, ionizált gázokban terjedõ hullámok esetében, itt a hullám mágneses össztevõje aránytalanul több energiát birtokol, mint az elektromos párocskája.

Tartozunk még az EM hullámok terjedése kapcsán annak tisztázásával, hogy az energiaszállítás miként alakul monokromatikus síkhullámok terében. Az energiatranszportot mint tudjuk, az $\vec{S}(\vec{r},\, t)=\vec{E}\times \vec{H}$ un. Poynting vektor írja le. Felidézzük a jelentését -megadja az áramlás irányára (S irányára) merõleges egységnyi felületen, idõegység alatt átáramló energiát $,$ egysége $W/m^{2}$ . Láttuk korábban azt, hogy az extenzív mennyiségeknek kétféle árama van, a konduktív, vagy más néven vezetési áram, amely a megfelelõ vezetõ közegben alakul ki, ha az extenzív mennyiséghez tartozó intenzív mennyiség inhomogén -pl. elektromos vezetõ közegben elektromos erõteret tartunk föl-. Konvektív áram akkor jön létre, ha az áramló, mozgó közeg magával cipeli az összes extenzív mennyiségét. Tisztázandó tehát az EM hullámokban fellépõ energiatranszport jellege is.

$$\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}=\sqrt{\epsilon /\mu }\, [\vec{E}\times [\vec{n}\times \vec{E}]]$$

Talán volt szó számtanórán ilyen beágyazott vektorszorzat kifejtésérõl: $[\vec{a}\times [\vec{b}\times \vec{c}]]=\vec{b}\, (\vec{a}\, \vec{c})-\vec{c}\, (\vec{a}\, \vec{b})$ . Figyelembe véve a hullám transzverzalitását az $(\vec{n}\, \vec{E})$ skaláris szorzat nulla. Ami nékünk marad az a következõ:

$$\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}=\sqrt{\epsilon /\mu }\, E^{2}\vec{n}$$

A gyökös együtthatót szorozzuk is, osztjuk is $\epsilon$-al a gyökjelen belül.

$$\sqrt{\epsilon /\mu }=\sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }\frac{\epsilon }{\epsilon }}=\frac{\epsilon }{\sqrt{\epsilon \mu }}=c\epsilon$$

$$\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}=\epsilon E^{2}c\vec{n}=\rho _{wem}\vec{v}$$ (26)

Itt fölhasználtuk azt a tényt, hogy a mágneses és az elektromos mezõk energiasûrûsége egyenlõ.

Az utolsó kifejezés pontos megfelelõje pl. a $\rho \vec{v}$ konvektív tömegáramnak, vagyis a Poynting vektor konvektív áram formájában czipeli a EM mezõk energiáját. E mechanikai tömegáram analógiát ne vegyük nagyon komolyan. Amig a rendelkezésre álló teret csak egy folyadék töltheti ki, egyetlen sebességtérrel, és egyetlen tömegsürüséggel pontonként, addig vákuumban akárhány EM hullám haladhat kölcsönhatás nélkül.

Gyorsan változó EM sugárzás esetén - ilyen például a fény is - a sugárzás fizikai intenzitása alatt a Poynting vektor idõátlagát értjük.

$$I=\frac{1}{T}\int ^{T}_{o}\vert\, \vec{S}(\vec{r},\, dt)\, \vert\, dt=\frac{1}{T}\epsilon \, c\int ^{T}_{o}E^{2}(t)\, dt$$

Az utóbbit (26) alapján kaptuk.

Két hullám ha találkozik ...

A szuperpozició az elektromos térerõsségekre mûködik, és nem az intenzitásra így tehát az eredõ térerõsség   $\vec{E}_{e}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}$        Az intenzitás viszont általában nem adódik össze:   $I_{e}\neq I_{1}+I_{2}$

Az intenzitás az elektromos térerõ négyzetének idõintegráljával arányos:

$\vert\vec{E}_{e}(t)\vert^{2}=\vert\vec{E}_{1}\vert^{2}+\vert\vec{E}_{2}\vert^{2}+2\vec{E}_{1}\, \vec{E}_{2}$

A fény, illetve az eredõ EM sugárzás intenzitása ennek idõátlagával arányos. Eredményül ezt kapjuk: $I_{e}=I_{1}+I_{2}+I_{12}$ , ahol az $I_{12}$ tagot interferenciatagnak nevezzük. Ha ez nulla, akkor nincs interferencia, s ekkor valóban az intenzitások egyszerûen összeadódnak. Közönséges fényforrások esetében szinte mindig ez a helyzet. Ha két villanykörtét külön, külön, illetve együtt felgyújtunk, akkor együttes mûködésük esetén az egyedi intenzitásaik összegét kapjuk. Megvizsgáljuk tehát, milyen feltételek fennállása esetén kapunk interferenciajelenséget.

---folyt. köv--

Habár ( szigetelõ közegekben ) az EM mezõk összenergiájából az elektromos és mágneses összetevõk egyenrangúan részesednek, az anyagi közegekkel való kölcsönhatás szempontjából mi kitüntetettként kezeljük a hullám elektromos részét. Ez megnyilvánul abban, hogy a polarizációs síkot az elektromos vektorra adjuk meg, fény esetében a fényvektor alatt a hullám elektromos részét értjük. Az elektromos mezõ ilyen elõtérbe helyezése a következõkön alapul:

Az elektromágneses sugárzás a közeg elektromosan töltött összetevõivel lép kölcsönhatásba. Tudjuk, hogy a mágneses mezõ által kifejtett erõt az un. Lorentz erõ írja le, így az elektromos illetve a mágnese összetevõk erõhatásai a következõképpen adhatók meg:

$$\vec{F}_{e}=q\vec{E}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \vec{F}_{m}=q\, [\vec{v}\times \vec{B}]$$

Alkalmazva a síkhullámban az elektromos és a mágneses mezõk között fönálló (25) $\vec{H}=\, \sqrt{\epsilon /\mu }\, [\vec{n}\times \vec{E}]$ kapcsolatot (ez itt a nyugalmi indukció egyenletébõl származik)

$$\vec{F}_{m}=q\, [\vec{v}\times \vec{B}]=q\, \mu \, \sqrt{\epsilon /\mu }\, [\vec{v}\times [\vec{n}\times \vec{E}]]$$

Figyelembe vesszük a fénysebességre kapott összefüggést: $C=\, 1/\sqrt{\epsilon \, \mu }$ , valamint egy becslést teszünk a következõ kifejezés maximumára $\vert\, [\vec{v}\times [\vec{n}\times \vec{E}]]\, \vert\, \leq v\, E$ . Itt a vektorszorzat kifejtésében mindenféle sinus kifejezések jelennének meg, ezekre azonban mindenütt ráigértünk 1-et, így kaptuk a jobboldalt.

$$F_{m}\leq \frac{v}{C}\, qE=\frac{v}{C}F_{e}$$

A hullám mágneses része által kifejtett erõ csak fénysebesség közeli elektron- (vagy más töltött részecske- ) sebesség esetén lesz összemérhetõ a hullám elektromos része által kifejtett erõvel. Ez az ami miatt jobbára csak az elektromos mezõ hatásával számolunk, s legtöbb esetben a mágneses mezõ hatását joggal elhagyhatjuk.

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató