Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató

Geometriai optika

A geometriai optikai viselkedés törvényszerûségeit EM hullámokra érvényes törvényszerûségek $\lambda \, \rightarrow \, 0$ határeseteként kapjuk.

Fermat elve

Ha egy fényforrás által kibocsátott fény nagy részét kitakarjuk, s csak egy szûk, kis átmérõjû nyalábot engedünk tovább, akkor ezt a szûk fény-nyalábot fénysugárnak nevezzük. Azt szeretnénk megtudni, hogy a fénysugár útját, pályáját milyen törvények írják elõ. Felületes megfigyeléseink szerint a fény levegõben egyenes vonalban terjed, bár ez ügyben azonnal gyanakvóvá válunk, ha a meleg radiátor fölött nézünk át, ugyanis a mögötte látható tárgyakat remegni látjuk. A vizespohárba rakott kanál töröttnek mutatja magát, s ez már a geometriai optikának egy kicsit durvább megnyilatkozása. Reggelenként, mikor felkel a Nap, hamarabb pillanthatjuk meg a Napot, mint az a geometriai helyzetbõl követznék, mert a Föld felszíne felé sûrûsödõ légkörben a napsugarak görbe pálya mentén haladnak.

Alapkérdésként azt tehetjük föl, hogy mi az ami kitünteti, megkülönbözteti a fény által követett tényleges L útvonalat más, elképzelt $L^{*}$ útvonalakhoz képest. Erre ad választ Fermat elve, amely szerint a fény két pont közötti útvonalak közül a terjedési idõ alapján választ, nevezetesen a legrövidebb terjedési idõ tünteti ki a tényleges útvonalat. Mivel néhány optikai eszközünkben egy adott pontból a fénysugarak kontinuum számosságú különbözõ utvonalon jutnak el ugyanabba az egyetlen képpontba, ezekre már nehezen mondhatjuk azt, hogy minimum, vagy éppen hogy legrövidebb terjedési idejû pályák. Ilyen pontok, illetve sugarak jelentkeznek például gyüjtõlencsék valódi képalkotásainál. Ezért aztán a minimum kifejezés helyett az extrémum némileg általánosabb szava használatos Fermat elvében.

A ds hosszúságú ívelem v sebességgel dt = ds/v idõtartam alatt futható be, így Fermat extrémum elvének matematikai megfogalmazása a következõ:

$$extremum=\int ^{B}_{L,A}dt=\int ^{B}_{L,A}\frac{ds}{v(s)}=\frac{1}{c}\int ^{B}_{L,A}n(s)ds$$

Fermat elvét akár a geometriai optika axiómájának is tekinthetnénk, azonban igazából az EM hullámok elméletébõl következik $\lambda \rightarrow 0$ határesetként. Illõ megemlékeznünk arról, hogy mechanikában hasonló tartalmú extrémum elv(ek)be gyömöszölhetõk bele a pontmechanika alaptörvényszerûségei.

Vegyük észre, hogy az utóbbi kifejezés már nem a haladási idõ extrémumát írja elõ, hanem az un. optikai úthosszét.

$$extremum=\int ^{B}_{AL}n(s)ds$$

Elhagytuk az 1/c szorzót, amely nem változtat az integrál extrémális voltán. Az integrál az un. optikai úthosszat, vagyis a törésmutatóval súlyozott ívhosszat adja meg.

Az integrál A-tól B-ig az L görbe mentén ugyanazon optikai úthosszat adja, mint B -tõl A-ig, azaz a fénysugár útja megfordítható.

Fermat elve közvetlen számításokra is alkalmas, ugyanakkor lehetõvé teszi más, a geometriai optikában közismertebb összefüggések származtatását is. Az alábbiakban az un. Schnell-Descartes törési törvényen mutatjuk meg az elv alkalmazását.

Két átlátszó közeg sima* (tükrözõ) határfelületére érkezõ fénysugár intenzitásának egy része visszaverõdik, a többi része behatol az új közegbe, ahol megváltozott sebességgel és megváltozott irányba folytatja az útját. Ez utóbbi jelenséget fénytörésnek nevezzük.

sima: Az elválasztó határfelületet simának nevezzük, ha a felület egyenetlenségének átlagos mérete sokkal kisebb az alkalmazott fény hullámhosszánál.

A jelenséget az elektromos /mágnese térre vonatkozó határfeltételek magyarázzák, azonban részletekbe nem itt most nem .... A lényeg az, hogyha az anyagi tulajdonságok ugrásszerûen változnak, akkor a határfeltételek szerint a beesõ, és az új közegbe belépõ EM hullámokon túl mindig megjelenik egy visszavert hullám is. A határfeltételek alapján felírt egyenletekbõl levezethetõk nem csak a törési, visszaverõdési törvények, hanem az is, hogy a beesési szögtõl, a beesõ fény polarizációs állapotától függõen, (a beesõ fénysugár elektromos tere milyen szögben hajlik a beesési síkhoz) a visszavert és az új közegbe behatoló fénysugarak milyen arányban osztoznak a beesõ fény intenzitásán.

Alkalmi feladványunk most: Fermat elve alapján hogyan származtatható az õsi fenytörési törvény ?

Azt kívánjuk meghatározni, hogy az 1-es közeg A pontjából milyen úton jut el a fénysugár a 2-es közegbeli B pontba. Rögtön hozzá kell tennünk, hogy Fermat elvébõl következik a fénysugár útjának megfordíthatósága, hiszen az integrál kezdõ és végpontjának felcserélése a görbe extrémális voltán nem változtat, vagyis, A- ból B-be ugyanazon utat követi a fény mint a fordított terjedési irány esetében. A terjedési idõk a következõk:

$$T(x)=T_{A}(x)+T_{B}(x)=L_{A}/C_{1}+L_{B}/C_{2}$$

A Pythagorasz tételének nagy varázslata alpján az elõbbit átírjuk így:

$$T(x)=n_{1}\frac{\sqrt{(x-x_{A})^{2}+y_{A}^{2}}}{C}+n_{2}\frac{\sqrt{(x-x_{B})^{2}+y_{B}^{2}}}{C}$$

Keressük azt az x értéket, amelynél T(x) -nek szélsõértéke van. Szélsõérték ott lehet, ahol a T -nek x szerinti elsõ deriváltja nulla. T deriváltja a következõ:

$$\frac{dT}{dx}=\frac{n_{1}\, (x-x_{A})}{C\, \sqrt{(x-x_{A})^{2}+y_{A}^{2}}}-\frac{n_{2}\, (x_{B}-x)}{C\sqrt{(x_{B}-x)^{2}+y_{B}^{2}}}$$

Trigonometriai ismereteink alapján fölismerjük a következõt:

$$sin\, \alpha =\frac{(x-x_{A})}{\, \sqrt{(x-x_{A})^{2}+y_{A}^{2}}}$$

Ennek alkalmazásával valamint a derivált zérus voltából adódóan kapjuk:

$$n_{21}=\frac{sin\, \alpha }{sin\, \beta }$$

Õt nevezzük a Schnellius-Descartes törési törvénynek. Itt megjelent a 2-es közeg 1-es közegre vonatkozó relatív törésmutatója az $n_{21}=n_{2}/n_{1}$ . Ha $n_{2}>n_{1}$ akkor a 2-es közeget optikailag sûrûbbnek nevezzük, az 1-est pedig optikailag ritkábbnak.

Figure: A törési törvény Fermat elvébõl levezthetõ. A fény A-ból B-be a legrövidebb idõ alatt jut el.

Szavakban, a törvény azt mondja, hogy a $sin\, \alpha /sin\, \beta$ arány a beesés szögétõl független, kizárólag a két közeg anyagi minõségétõl függ. A törvénybõl kiolvasható, ha a fény a kisebb törésmutatójú közeg felõl a nagyobb törésmutatójú közegbe lép, akkor fénysugár a beesési merõleges felé törik, azaz a nagyobb törésmutatójú közegbeli megtört fénysugár kisebb szöget zár be e beesési merõlegessel, mint a beesõ fénysugár. Röviden, $ha\, \, n_{2}>n_{1}\, \, akkor\, \, \beta <\alpha$ . Mivel a fénysugár útja megfordítható, ezen állítások visszafelé is olvashatók. A nagyobb törésmutatójú közegbõl a kisebb törésmutatójú közegbe lépõ fénysugár nagyobb szöget zár be a beesési merõlegessel, mint az optikailag sûrûbb közegben. Ez utóbbi esetben, ha növeljük az optikailag sûrûbb közegbõl a ritkább felé haladó fénysugár beesési szögét, akkor a ritkább közegben haladó fénysugár beesési merõlegessel alkotott szöge rohamosabban nõ, mint a fénysugár sûrûbb közegbeli szöge. Így találunk egy olyan un. $\beta _{h}$ határszöget, amelyhez tartozó $\alpha$ szög már derék. Ezen szög alatt, és ettõl nagyobb $\beta$ beesési szöggel érkezõ fénysugarak már nem tudnak belépni az új, kisebb törésmutatójú közegbe. A két közeg határfelületén lejátszódó törési és visszaverõdési jelenségek közül csak a visszaverõdés marad meg, s visszavert fénysugár örökli a beesõ fénysugár teljes intenzitását. A jelenséget teljes visszaverõdésnek nevezzük, s ennek határszöge a következõkbõl számítható:

$$n_{21}=\frac{sin\, (\pi /2)}{sin\, \beta _{h}}=\frac{1}{sin\, \beta _{h}}$$

A környezettõl különbözõ törésmutatójú anyagokból, tükrözõ felületekbõl egyszerû optikai eszközöket építhetünk, lencséket, prizmákat, gömbtükröket. Ezeket azután bonyolultabb eszközökké rakhatjuk össze.

Lencsetörvény

A lencsék átlátszó, környezetüktõl különbözõ törésmutatójú anyagokból készülnek. A lencse két oldalát r1 és r2 sugarú gömbfelület darabok határolják. A görbületi középpontokra illeszkedõ egyenest optikai tengelynek nevezzük. A konvex (domború) gömbfelület görbületi sugarát pozitív, a homorú (konkáv) felület görbületi sugarát negatív elõjelûnek tekintjük. Domború üveglencsék levegõben gyüjtõlencseként viselkednek. Ez azt jelenti, hogy az optikai tengellyel párhuzamosan érkezõ fénysugarak a lencse túloldalán egy pontban, az un. fókuszpontban metszik egymást, azaz a párhuzamos fénysugarakat egy pontba gyûjti. A jelenség, a lencsét határoló (belépõ, és kilépõ) felületeken bekövetkezõ fénytörések következménye, azonban az un. vékony lencsék esetén e fénytörési eseményeket úgy kezeljük, mintha egyetlen törési síkon következnének be. A fókuszpont lencsétõl (azaz a törõsíktól) mért távolságát fókusztávolságnak nevezzük. A fénysugarak útja megfordítható, ezért a fókuszpontból kiinduló (azon átmenõ) fénysugarak a gyüjtõlencse túloldalán az optikai tengellyel párhuzamosan haladnak. A fókusztávolság a lencse két oldalán ugyanaz, azaz a 'jobbról' érkezõ fénysugarakkal, illetve a 'balról' érkezõ fénysugarakkal a lencse azonos módon viselkedik.

Üvegbõl készült homorú (konkáv) lencsék levegõben szórólencseként viselkednek, azaz az optikai tengellyel párhuzamosan érkezõ fénysugarak a lencse túloldalán divergálnak, széttatrtanak, mégpedig oly módon, mintha a fénysugarak érkezési oldalán levõ pontból -a szórólencse fókuszpontjából- indulnának ki. Itt tehát a fénysugarak nem metszik egymást a fókuszpontban, azonban, ha a széttartó sugarakat képzeletben visszafelé meghosszabítjuk, akkor e meghosszabbítások metszéspontja jelöli ki a szórólencse fókuszpontját. Szórólencsék fókusztávolságát negatív, gyüjtõlencsék fókusztávolságát pozitív értékként kezeljük.

Lencsék fókusztávolságát a lencse geometriája és a lencse anyagának környezetére vonatkoztatott relatív törésmutatója határozza meg.

$$\frac{1}{f}=(n_{r}-1)\, (\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}})$$ (28)

A relatív törésmutató, az $n_{r}=n_{lencse}/n_{kornyezet}$ összefüggése alapján, az adott lencsére optikailag ritkább közegben 1-tõl nagyobb is , és optikailag sûrûbb közegben 1-tõl kisebb is lehet. Ez tehát azt jelenti, hogy pl. levegõben gyüjtõlencseként viselkedõ lencsébõl akár szórólencse is lehet egy másik közegben.

Mint tudjuk, a törésmutó függ az alkalmazott fény hullámhosszától, azaz a fény színétõl. A jelenséget diszperziónak nevezzük (lásd 27), s segítségével az összetett fényt (pl. a fehér fényt) összetevõire bonthatjuk, lencséknél azonban a jelenség az un. színi hibához, vagy más szóval a kromatikus lencsehibához vezet. A lencse fókusztávolságát megadó (28) formula azt mondja nekünk, hogy a lencse fókusztávolsága más-más lesz a különbözõ színekre. Ennek következménye az, hogy ha erõs nagyítású távcsövekbe nézünk, akkor a tárgyak kontúrját szivárványszerû 'glória' övezi.

Jobb minõségû eszközöknél, fényképezõgépeknél színi hibamentes, un. akromatikus lencserendszereket alkalmaznak, amelyek lencséi különbözõ diszperziójú anyagból készülnek, s ezek egymás színi hibáit a látható spektrumban képesek kompenzálni.

Szóró, gyüjtõlencsékre, gömbtükrökre egyaránt érvényes az un lencsetörvény :

$$\begin{array}{ccc}\frac{1}{f}=\frac{1}{t}+\frac{1}{k} & \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \: & f^{2}=x_{t}\, x_{k}\end{array}$$

Minimális kézügyességgel igazolható ugyanezen lencsetörvény Newton féle alakja - a második összefüggés a fenti sorban-, amely mind a tárgy távolságát, mind pedig a kép távolságát a megegyezõ oldali fókuszponttól méri azaz $t=f+x_{t}\, \, \, k=f+x_{k}$ . Ezek behelyettesítésével jutunk a Newton féle alakhoz.

A méterben kifejezett fókusztávolság reciprokát Dioptriának nevezik. Ezzel a szemüveglencse un. törõképességét jellemzik. Eszerint egy 2 dioptriás szemüveg fókusztávolsága f = 0.5 m.

Figure: Gyûjtõlencse képalkotása.cd

Az (9) ábrán valódi képalkotásban szerepet játszó fénysugarak közül rajzoltunk be néhányat. Az itt feltüntetett sugarak a valóságban lejátszódó képalkotás során nem játszanak kitüntetett szerepet, csupán számunkra -együgyû emberi lények számára- könnyítik meg ezek a képszerkesztést. A képszerkesztések során leggyakrabban alkalmazott sugarak a következõk;

• az optikai tengellyel párhuzamos sugarak a fókuszponton haladnak át. Gyüjtõ lencse esetén a túloldali fókuszponton mennek át, szóró lencse esetén úgy haladnak, mintha a tárgyoldali fókuszból indulnának.
• a lencse közepén áthaladó sugarak iránya nem változik. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy ahogy azt a planparallel lemezen ( párhuzamos síklapokkal határolt közeg ) áthaladó sugarak esetén is láttuk, úgy itt is az átmenõ sugár párhuzamosan eltolódik a beesõ sugárhoz viszonyítva.
• a tárgyoldali fókuszponton áthaladó sugarak a túloldalon az optikai tengellyel párhuzamosan haladnak.
• azok a sugarak amelyek az optikai tengelyt a kétszeres fókusztávolságban metszik, túloldalon is a kétszeres fókusztávolságban metszik az optikai tengelyt. Ezt a sugarat az ábrán nem rajzoltuk meg.

A tárgy ( egy pontjának ) valódi képe ott keletkezik, ahol a tárgy egy pontjából kiinduló fénysugarak újra metszik egymást. Ide ernyõt ( pl. egy sima, fehér papírlapot ) helyezve kapjuk a tárgy valódi képét. Ha a Fermat elvre gondolunk, azonnal belátjuk, hogy itt a tárgy egy pontjából a képpontba megszámlálhatatlanul sok különbözõ úton jut el fénysugár. Ezek mindegyike megfelel Fermat elvének, azaz a terjedési idõ, illetve az optikai úthossz ezek mindegyikénél ugyanaz. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy az egyes sugarak között nem lép fel fáziskülönbség.

Virtuális kép esetén a tárgy egyes pontjaiból kiinduló fénysugarak nem metszik egymást, a fénysugarak meghosszabításai illetve ezen meghosszabított sugarak metszései jelölik ki a virtuális kép helyét. A virtuális kép tehát ernyõn nem fogható föl. Amikor szemünkkel egy virtuális képet nézünk, úgy érzékeljük, a képet, mintha a fénysugarak a virtuális képbõl indulnának ki (a virtuális képekre legjellemzõbb szó a ``mintha'' ). Számolásainkban a virtuális képet negatív képtávolság jelzi.

Legtöbb optikai eszközünk több lencsét alkalmaz. Ezek sugármenetének szerkesztése és számítása láncolható, azaz az egyik lencse által létrehozott kép a következõ lencse tárgyaként kezelendõ. Ez ugyan egyszerûnek tûnik, de némi gondolkozást igényel, ha a kép a rákövetkezõ lencse után keletkezik.

A fentiekben közölt leképezési törvények, sugármenetek csak az optikai tengely közelében haladó, a tengellyel nem túl nagy szöget bezáró sugarakra mûködnek tökéletesen. Ezeket a sugarakat paraxiális sugaraknak nevezzük. Távolabbi, valamint a nagyobb szögek alatt haladó fénysugarak esetén már különbözõ lencsehibák hatásai jelentkeznek. Ilyen sugarak esetén egy pont képe már nem pont, hanem folt lesz, illetve egy tárgynak alkalmazott négyzetrács képe párnaszerûen torzul, stb. Ezért ezeket a sugarakat gyakran kitakarják pl. állítható nyílású blendékkel. A kitakarás ugyan javítja a kép élességét de ezért a kép fényerõ csökennésével kell fizetnünk. Ez egyébként a fizikában és más területeken is megjelenõ komplementaritási elv egy világos megnyilvánulása. A komplementaritási elv itt azt jelenti, hogyha a kapott eredményünk (képünk, mérési adataink) bizonyos tulajdonságait javítani akarjuk, akkor ezért rendszerint más tulajdonságok romlásával kell fizetnünk.

Szemünk pupillája kisebb fényerõ -valamint érzelmileg pozitív vizuális inger- esetén kitágul, a nagyobb fényerõ hatására beszûkül. Ez utóbbi esetben a beszûkült pupilla kiszûri a hibás leképezést okozó fénysugarak egy részét, látásunk javul. A megvilágítás erõsségének növelésével öregedõ szemünk számára alkalmilag nyerhetünk néhány dioptriát.

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató