Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ

A hullámfüggvény, megtalálási valószínûség.

A klasszikus fizika legalapvetõbb fogalmait a tömegpont -azaz részecske- kinematikáján, dinamikáján keresztül vezettük be. A kvantummechanika centrális fogalma viszont a részecske hullámfüggvénye. A részecske és a környezetet reprenzentáló potenciáltér egy fizikai rendszert alkot. A részecske fizikai rendszerbeli állapotát e komplex értékû hullámfüggvény jellemzi. Közvetlen fizikai jelentése nincs, azonban a részecskérõl, annak állapotáról a hullámfüggvény segítségével minden fizikailag lényeges információ kibányászható.

A hullámfüggvény általában a hely és az idõ függvénye $\psi (\vec{r},\, t)$ . Ha a hullámfüggvény nem tartalmazza az idõt, akkor az egy részecske állapotot ír le. A hullámfüggvény abszolutérték négyzete (saját komplex konjugáltjával való szorzata) nagyon fontos és szemléletesen értelmezhetõ mennyiséghez vezet. Az abszolutérték négyzet dx -el való szorzata megadja a részecske x hely, dx környezetében való megtalálás valószínûségét:

$$\vert\psi (x)\vert^{2}dx=\psi '(x)\, \psi (x)\, dx$$

Az egyszerûség kedvéért itt is, és a továbbiakban is egy dimenziós eseteket tekintünk. Az itt elkövetett meggondolások egyszerûen általánosíthatók három dimenzióra is.

Ha a részecske egy a élhosszúságú dobozban van (mint pl. egy fémkockában levõ elektron ) akkor:

$$1=\int _{o}^{a}\vert\psi (x)\vert^{2}dx$$

Számtanórán erre azt mondja a tanerõ, hogy a hullámfüggvény a $[o,\, a]$ intervallumon négyzetesen integrálható és egyre normált. Fizikaórán ez azt jelenti, hogy a részecske 'létezik', és a $[o,\, a]$ intervallumon egységnyi valószínûséggel megtalálható, azaz a részecske valahol a o és az a pont között van.

Figure: Dobozba zárt részecske lehetséges energiaérétékei. Az elsõ néhány hullámfüggvény, és a megtalálási valószínûségek. Betöltött, és a betöltetlen állapotú energianívók határán van az un. Fermi nívó.

A részecskét ($\sim$leíró hullámfüggvényt) jól lokalizáltnak nevezzük, ha a megtalálási valószínûség egyetlen hely szûk környezetében különbözik nullától, s szétfolytnak, ha a szóbanforgó tartomány jelentõs területein a megtalálási valószínûség nullától különbözik. A klasszikus fizika pontszerû részecske modelljéhez a jól lokalizált hullámfüggvénnyel leírt részecskeállapot közelít leginkább.

Figure: Megtalálási valószínüség, és a határozatlanság.

A klasszikus fizika különbözõ részeiben rendszerint akkor kaptunk statisztikai kijelentéseket, ha sokrészecske rendszerünk volt, esetleg egy rendszert sok példányban de különbözõ állapotokban képzeltünk el, itt azonban az a meghökkentõ tény jelenik meg, hogy már egyetlen részecske esetén is csupán valószínûségi kijelentéseket tehetünk. A kvantummechanikai õsatyák (az elmélet kifejlesztõi) egy része a hullámmechanika ezen alapvetõ tényét sohasem akarta elfogadni.

Az (11) ábrán egy részecske megtalálási valószínûségét szemléltetjük két (1-es és 2-es) állapotban. Ha ismételt kisérletekkel megpóbáljuk a részecskét a (0 a) intervallum különbözõ pontjai környékén elkapni, akkor az egyes kisérletek során vagy az egész részecskét sikerül megfognunk, vagy semmit sem. Ha ábrázoljuk különbözõ x koordinátáknál a sikeres kisérletek arányát (vagyis, hogy probálkozásaink hányadrészében sikerült a részecskét az egyes x értékek környékén megtalálnunk), akkor az (11) ábrákhoz hasonló empírikus eloszlást kapunk. A megtalálás x koordinátájának várható értékeként (átlagos x) mindkét állapotra ugyanaz az a/2 érték adódik, azonban látjuk, hogy amíg az 1-es állapotú részecskét csak az a/2 koordináta szûkebb környezetében találhatjuk meg, a 2-es állapot esetén a részecskét jelentõs valószínüséggel megtalálhatuk az a/2 jóval tágabb környezetében is. A megtalálási x koordinátájának ezt a határoztlanságát valamilyen $\Delta x$ mennyiséggel jellemezhetjük. Erre a standard deviációt használjuk.

$p_{x}=mv_{x}$

A határoztlansági reláció

A Heisenberg féle határozatlansági reláció egyes fizikai (un. kanonikusan konjugált) mennyiségpárok határozatlanságát jellemzõ $\Delta$ mennyiségek között állapít meg kötelezõ érvényû kapcsolatot.

$$\Delta p_{x}\Delta x\geq h/4\pi$$

Itt ugyan csak x-re írtuk fel, de y-ra, z-re is hasonló forma adódik.

A határozatlansági reláció azt mondja, hogy nem lehet egyidejûleg tetszõleges pontossággal megadni egy részecske helyét (x koordinátáját) és impulzusát (lendületét). Itt nem arról van szó, hogy esetleg az alkalmazott mérési eljárás okozza ezt a bizonytalanságot (bár kétségtelen, hogy a mérés módosítja az eredeti állapotot), vagy hogy mi nem tudjuk megadni, hanem, arról, hogy ezen mennyiségek egyidejû meghatározottsága ilyen törvényt követ.

Ha a részecske jól lokalizált ($\Delta x$ kicsi), akkor szinte semmit nem tudunk mondani a részecske lendületérõl ( $\Delta p_{x}$ szükségképpen nagy kell hogy legyen ). Ugyanezt fordított irányban is -x, px szerepcserével- elmondhatjuk, azaz élesen meghatározott impulzus esetén, a részecske szükségképpen szétfolyt. Ez persze helybõl kilövi a lovat a klasszikus pontmechanika egy alapfeladvány típusa alól, nevezetesen amikor az eredõ erõ és a kezdeti feltételek ismeretében a tömegpont további mozgását akarjuk meghatározni a mozgásegyenlet megoldásával. Ugyanis a kvantummechanikában már a klasszikus fizika által igényelt kezdeti feltételeket sem tudjuk megadni, hiszen pontosan megadott kezdeti helykoordináta esetén a megfelelõ $V_{ox}=p_{ox}/m$ sebességkoordináta akármi lehet az impulzuskoordináta határozatlansága miatt.

A határozatlansági reláció tiltja meg, hogy kis tömegû részecskét kis térrészbe könnyedén betuszkoljunk, pl. emiatt nem lehetnek elektronok az atommagban. Ha egy m tömegû részecskét egy a élhosszúságú dobozba zárunk (egy dimenzióban számolgatunk), akkor a részecske x koordinátájának határozatlansága csak kisebb lehet mint a doboz élhossza. A határozatlanságot a következõ alakban adhatjuk meg: $\Delta x=\eta a$ ahol $\eta <0.5$, egyenletes valószínûségsûrûrség esetén $\eta \approx 0.3$ . Ebbõl a lendület határozatlansága kifejezhetõ:

$$\Delta p_{x}\eta a\geq h/4\pi \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \: \Delta p_{x}\geq \frac{h}{4\pi \eta a}$$

A V = p/m alapján a lendület határoztlanságához mozgási energia társul.

$$W_{m}=1/2\, m\, V^{2}=p^{2}/2m\, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \,......m}=\Delta p^{2}_{x}/2m\geq \frac{h^{2}}{32\eta ^{2}\pi ^{2}}\frac{1}{m\, a^{2}}$$

A részecske akkor lesz kötött állapotban, ha az összenergia negatív, azaz a ( negatív ) potenciális energia értéke abszolut értékben nagyobb mint az impulzus határozatlansághoz tartozó Wm mozgási energia. A fentiek alapján például könnyen beláthatjuk, hogy pl nem tartózkodhat elektron az atommagben. Elektron tömeg, és atommag méretû doboz esetén ez $W_{p}\approx 10^{9}eV$ lenne. Egyébként a protonok, neutronok átlagos magbeli kötési energiája $8\, 10^{6}eV$ környékére esik, s ez nagyságrendekkel alulmúlja az elektron atommagba kötéséhez szükséges energiát.

$$\Delta E\, \Delta t\geq h/4\pi$$

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ