Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ

Az elektrosztatikus mezõ

Tapasztalatunk szerint az elektrosztatikus mezõ konzervatív mezõ. Ez egyébként az elektrosztatika egyik alaptörvénye. Ennek kisérleti támasza az a megfigyelés, hogy az elektrosztatikus mezõ által tetszõleges zárt görbe mentén végzett munka nulla. Ennek a ténynek aztán számos következménye van. Mivel mechanikai tanulmányainkban már találkoztunk a konzervatív mezõkkel, és konzervatív tulajdoság különbözõ megfogalmazásaival, itt csupán átfutjuk õket.

• $\oint _{L}\vec{E}\, d\vec{s}=0$ Az elektromos mezõ térerõsségének tetszõleges, zárt görbére vett görbementi integrálja nulla. Ugyanezt most elmondanánk fizikául is: az elektrosztatikus mezõ tetszõleges zárt görbe mentén végzett munkája nulla.
• $\oint _{L}\, ..=\int ^{b}_{L_{1}a}..+\int ^{a}_{L_{2}b}..=\int ^{b}_{L_{1}a}........ \Rightarrow \, \, \, \, \, \, \, \, \int ^{b}_{L_{1}a}..=\int ^{b}_{L_{2}a}..$ Az integrandus és az integrációs változó minden integrálban azonos, az egyszerûbb írásmód kedvéért ezeket most nem írjuk ki. Az L zárt görbét a és b -egyébként tetszõleges - pontoknál két, L1 és L2 görbére bontjuk. az L2 görbe irányításának megfordítása az integrál elõjelének megváltozásához vezet. Az ebbõl következõ állítás pedig így hangzik: az elektrosztatikus tér által végzett munkát a kezdõ és a végpont egyértelmûen meghatározza, nem függ tehát attól, hogy milyen görbeszakasz mentén -milyen úton- megyünk a munkavégzés során a kezdõpontból a végpontba. Ez azt is jelenti, hogy konzervatív mezõ esetén jogunk van úgy megválasztani az integrációs utat, hogy a számítás a lehetõ legkényelmesebben elvégezhetõ legyen.
• $\int ^{b}_{L_{1}a}..=\int ^{b}_{L_{2}a}..=-(U_{b}-U_{a})$ Az a tény, hogy a munkavégzést a kezdõ és a végpont egyértelmûen meghatározza, arra utal, hogy e munkavégzést a kezdõ, és végpontokhoz -általában a tér pontjaihoz- hozzárendelt mennyiségek különbségével adhatjuk meg.
• $\oint _{L}\vec{E}\, d\overrightarrow{r}=\int _{A(L)}rot(\vec{E})\, d\overright...... \, \, \, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \, \, \, \, \, rot(\vec{E})=0$ Stokes integrál-trafo alpján a zárt görbementi integrál felületi integrállá alakítható és viszont. Ez ahhoz vezet, hogy tetszõleges felületdarabra a rotáció felületi integrálja nullát ad, amibõl következik a konzervatív tulajdonság egy ujabb megfogalmazási formája. Ennek a $rot(\vec{E})=0$ formának igen nagy a gyakorlati haszna, ugyanis, ha a mezõ vektorfüggvényként adott, akkor a rot mûveletével eldönthetõ, hogy az adott mezõ konzervatív-e, vagy sem.
• A fenti tulajdonságok mind automatikusan teljesülnek, ha az elektromos mezõt $\vec{E}=-grad\, U$ alakban, azaz egy $U(\vec{r})$ skalárfüggvény negatív gradienseként állítjuk elõ. Az U függvényt potenciálfüggvénynek nevezzük. Ebbõl származik az elektrosztatikus mezõbe helyezett q ponttöltés helyzetébõl adódó munkavégzõképessége, a $W_{pot}$ potenciális energia. $W_{pot}=q\, U$ . Ezen kapcsolat az U potenciál, és a Wpot potenciális energia között pontos megfelelõje az $\vec{F}=q\vec{E}$ kapcsolatnak. Vagyis az elektromos mezõt az U potenciálfüggvény illetve az E elektromos térerõ jellemzi, a behelyezett aktuális q töltés potenciális energiáját Wpot =qU illetve a rá ható erõt az $\vec{F}=q\vec{E}$ adja meg.

Ha megtaláltuk az elektromos mezõ (egy) U potenciálfüggvényét, akkor minden olyan függvény, amely az U -tól egy additív K állandóban különbözik ugyanazt a fizika teret állítja elõ:

$$U'(\vec{r})=U(\vec{r})+K\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \vec{E}=-grad\, U'\equiv -grad\, U$$

A konstans bármilyen változó szerinti deriváltja ugyanis elhalálozik (nulla lesz).

A tetszõleges konstans hozzáadása a potenciális energiával történõ számolásokat sem befolyásolja, ugyanis számításainkban mindig potenciális energia különbségek jelennek meg, így a hozzáadott állandó kiesik. A potenciálfüggvény tehát csak egy additív állandótól eltekintve van egyértelmûen meghatározva, így tetszés szerint választhatjuk meg a potenciális energia zérushelyét is.

Ha egy $f(\vec{r})$ függvény $\vec{r}$ független változója $\vec{r}+d\vec{r}$ -re változik, akkor általában a függvényérték is megváltozik. Ezen $f(\vec{r}+d\vec{r})-f(\vec{r})$ növekmény (sorfejtésbõl csonkított) lineáris részét az f függvény teljes differenciáljának nevezzük, és $df$-el jelöljük.

$$f(\vec{r}+d\vec{r})-f(\vec{r})=[f(\vec{r})+\partial f/\partial x*dx+\partial f/\partial y*dy+\partial f/\partial z*dz+\cdots +\, ]-f(\vec{r})$$

Csupán a lineáris növekményt megtartva kapjuk a következõket:

$$df=\partial f/\partial x*dx+\partial f/\partial y*dy+\partial f/\partial z*dz=grad(f)\, d\vec{r}$$

Mivel az $\vec{E}$ elektromos térerõ a töltésegységre ható erõt adja meg, a $d\vec{r}$ elmozdulás során végzett elemi munka az $(\vec{E}=-grad\, U)*d\vec{r}$ alapján számítható. Figyelembe véve az elõbbieket a $dU=grad\, U*d\vec{r}$ alakot kapjuk, így a töltésegységen elkövetett munkavégzés elemi, illetve integrális formája :

$$dU=-\vec{E}d\vec{r}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, U(\vec{r})=-\int \vec{E}d\vec{r}$$ (1)

A fenti integrál egy népies alkalmazási formáját kapjuk meg homogén elektromos mezõben -pl. síkkondenzátor d távolságban levõ lemezei között-, ugyanis ekkor az integrál E*d alakban számítható. A kondenzátorlemezek U potenciálkülönbsége, és a térerõsség kapcsolata tehát U=E*d.

A fent (1) határozatlan integrál integrációs állandóját úgy választjuk meg ahogy az nekünk megfelel. Vannak azonban bizonyos hagyományok, pl. a ponttöltés potenciálja, amelyet a Coulomb törvény alapján az elõbbi integrálással kapunk, rendszerint a következõ alakban jelenik meg:

$$U=\frac{1}{4\pi \epsilon }\frac{q}{r}$$

azaz a ponttöltés potenciálja végtelen távoli pontban válik nullává.

A sztatikus elektromos mezõ konzervatív voltából következik az össz-energia állandósága ezen térben $W_{kinetikus}+W_{potencialis}=$ állandó.

Az elemi munka :

$$\vec{F}d\vec{r}=q\vec{E}d\vec{r}=-d(qU)$$

$$W_{1,2}=\int _{1}^{2}\vec{F}d\vec{r}=-(qU_{2}-qU_{1})=-(W_{p}(2)-W_{p}(1))$$

A munkatétel azt mondta nekünk, hogy az eredõ erõ munkája a mozgási energia növekedését adja.

$$(W_{k}(2)-W_{k}(1))=-(W_{p}(2)-W_{p}(1))$$

Amely átrendezéssel ahhoz a kijelentéshez vezet, hogy a potenciális és a mozgási energiák összege a mozgás (bármely) két különbözõ idõpontjában ugyanaz az érték.( elektrosztatikus erõk hatása alatt).

$$(W_{k}(2)+W_{p}(2))=(W_{k}(1)+W_{p}(1))$$

A fentiek egy elemi alkalmazásaként azt határozzuk meg, hogy milyen sebességre tesz szert az m tömegû, -q tölésû, kezdetben nyugalomban levõ pontszerû részecske U potenciálkülönbség befutása során. A fentiek aktuális átirata a következõ:

$$0=1/2m\, v^{2}-qU\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$$

A fenti fejezet az elektrosztatikus mezõ konzervatív voltát járta körbe. Az elektrosztatikának ez a törvénye még egyenletesen mozgó töltések, de idõben állandó mezõk - egyenáramok - esetén még fönnáll, de idõben változó mezõk, esetén már nem igaz.

Ha a q töltés U potenciálkülönbséget -feszültséget- fut be, akkor a töltött részecskén az elektromos erõk qU munkát végeznek. Ha mindig ugyanarra a töltésre gondolunk, akkor a munkavégzést, illetve a munakvégzés során nyert energiát az U potenciálkülönbséggel is egyértelmûen jellemezhetjük. Ezen alapul az atomfizikában, magfizikában, stb. széleskörûen alkalmazott energiaegység, az un. elektronvolt, vagy röviden eV.   1 eV energiára tesz szert a $q_{e}=1.6\, 10^{-19}As\, \, ^{(*)}$ elemi töltéssel rendelkezõ részecske, ha 1 Volt potenciálkülönbséget fut be. Ha az eV egységben adott energiaértéket az elemi töltéssel megszorozzuk, akkor megkapjuk ugyanazon energia Joule egységekben kifejezett értékét.

$^{(*)}$ Tudomásul kell vennünk, hogy az elektromos töltés atomos, szemcsés természetû, azaz van legkisebb, tovább nem osztható mennyisége. Ezt a töltésmennyiséget nevezzük elemi töltésnek, s az anyag egyes elemi alkotórészei a proton, és az elektron - ellentétes elõjellel - ekkora töltéssel rendelkeznek. Az elektrodinamika semmit nem tud és nem is mond errõl a töltés szemcsézettségrõl, egyszerûen minden zavar nélkül együtt tud élni vele.

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ