Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató

Elektromos dipólus

Egy nagyon alapvetõ másik töltés eloszlástipus az un. dipólus (azaz ''kétpólus''). Ennek tulajdonságait vizsgáljuk az alábbiakban.

Két ellentétes elõjelû, azonos nagyságú töltés egy speciális töltéseloszlást alkot, ezt nevezzük dipólusnak. Ha az l vektor a dipólus negatív töltésétõl a pozitív felé mutat, akkor a dipólus dipólmomentumát a következõképpen definiáljuk: $\vec{m}=q\vec{l}$ . Pontszerû dipólus ebbõl úgy lesz, hogy föltesszük, a két töltés közötti távolság nullához közelít, miközben az m dipólmomentum egy véges értékhez tart. Tehát nem a q töltés és nem az l távolság jellemzõ a dipólusra, hanem a q l szorzat. Dipólus tulajdonságat az õt alkotó monopólusok, azaz egypólusok (vagyis ponttöltések) tulajdonságaiból építjük föl. Ponttöltés E elektromos mezõjét, U potenciálterét, és a rá kifejtett F erõt a következõ összefüggések adják:

$$\vec{E}(\vec{r})=\frac{q}{4\pi \epsilon _{o}\epsilon _{r}\, }\fra......\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \vec{F}=q\vec{E}$$

Az elsõ kifejezésben szereplõ E elektromos mezõ az origóba elhelyezett ponttöltés elektromos mezõjét írja le. Az utolsóban egy E elektromos térejejû mezõben elhelyezett ponttöltésre kifejtett erõt kapjuk. ( Vagyis a két E nem ugyanaz).

A pontszerû elektromos dipólus bevezetése két újabb teendõt sugall. Ezek egyike azt tisztázná, hogy ezen speciális töltéseloszlás milyen elektromos mezõt illetve potenciálteret hoz létre. Ezzel részleteiben ugyan nem foglalkozunk, de azt mindenképpen tudnunk kell, hogy amíg a pontszerû elektromos töltés térerõssége a ponttöltéstõl mért távolság növekedtével $1/r^{2}$ szerint tart nullához, az elektromos dipólus keltette térerõsség $1/r^{3}$ szerint csökken. Mivel ez az erõ sokkal rohamosabban tart nullához a távolság növekedtével, így ez a rövid hatótávolságú erõk közé tartozik.

Az út, amelyen végighaladva meghatározhatnánk egy dipólus potenciálterét, nagyon egyszerû, hiszen a két (+ és - ) ponttöltés potenciálját kell összegeznünk, valahogy így:

$$U=U_{+}+U_{-}=\frac{q}{4\pi \epsilon }(\frac{1}{\left\vert \vec{r}-\vec{l}\right\vert }-\frac{1}{\left\vert \vec{r}\right\vert })$$

Tudnunk kell, hogy itt a dipólus negatív ponttöltését helyeztük az origóba, s az r helyvektor az origóból abba a térbeli pontba mutat, ahol a potenciál értékét keressük. Érdekességek csupán a geometriai részben vannak, ezért csupán azt alakítjuk tovább:

$$\frac{1}{\left\vert \vec{r}-\vec{l}\right\vert }-\frac{1}{\left\v......c{\left\vert \vec{r}\right\vert -\left\vert \vec{r}-\vec{l}\right\vert }{r^{2}}$$

Mivel az l nullához tart, a nevezõben a nagy r mellett az l elhagyható. A számlálóban ez azért nem tehetõ meg, mert a nagy r, r-l étékek kis különbségében egyedül az l marad valamilyen formában talpon. Azt már ebbõl az elemi vizsgálatból is látjuk, hogy amíg a ponttöltés potenciálja 1/r szerint tart nullához a növekvõ r távolság függvényében, a dipólus potenciálja ezt $1/r^{2}$ szerint teszi. Mint ahogy sötétben minden tehén fekete, úgy nagy távolságból minden töltéseloszlás ponttöltésként kezelhetõ. Ha pontosabban akarjuk leírni nagy távolságból a töltéseloszlás elektromos terét, vagy ha az össztöltés nulla, akkor töltéseloszlás dipólus terét is figyelembe kell vennünk (azaz szuperponálni a ponttöltés terére). Meg kell jegyeznünk, hogy a sor folytatható magasabb multipólusok terének figyelembevételével, pontosan olyan módon, ahogy pl. egy Taylor sörfejtésnél az egyre magasabb hatványú tagok figyelembe vétele egyre pontosabb közelítést eredményez.

A másik dolog, amit valamivel részletesebben megnézünk az az, hogy milyen hatást fejt ki az elektromos mezõ a behelyezett dipólusra. Két hatással kell számolnunk: az elektromos mezõ forgatónyomatékot fejt ki a dipólusra, ``igyekszik'' õt beforgatni a térerõ irányába. Inhomogén elektromos térrõsség esetén a mezõ erõt fejt ki a dipólusra.

A forgatónyomaték kiszámítása az egyes (mono) -pólusokra kifejtett erõhatás ismeretében történik. Már itt megjegyezzük, hogy az elektromos dipólusra kifejtett erõhatás, és forgatónyomaték kifejezések - a bennük szereplõ mennyiségek neveitõl eltekintve - egy az egyben átvihetõk mágneses dipólusokra is. Ami egyedül nem mûködik ebben az átírásban az a levezetések alapelve, mivel mágneses töltések -monopólusok- nem léteznek. A dipólusra kifejtett forgatónyomtékot az egyes tölésekre kifejtett forgatónyomatékok összegeként kapjuk. Az iskolában úgy tanultuk, hogy az r pontban ható F erõ, origóra való nyomatékát az r x F vektorszorzat adja. Ezek alapján az elektromos mezõ dipólusra kifejtett forgatónyomatéka a következõ :

$$\vec{M}=\vec{M}_{-}+\vec{M}_{+}=[\vec{r}\times (-q\vec{E})]+[(\vec{r}+\vec{l})\times (q\vec{E})]=[\vec{l}\times (q\vec{E})]=[\vec{m}\times \vec{E}]$$

$$F_{xe}=F_{x-}+F_{x+}=-qE_{x}(\vec{r})+qE_{x}(\vec{r}+\vec{l})$$

Az r + l helyen jelentkezõ Ex térerõt az r körüli sorfejtés lineáris tagja alapján kapjuk.

$-E_{x}(\vec{r})+E_{x}(\vec{r}+\vec{l})\approx -E_{x}(\vec{r})+E_{x}(\vec{r})+(......partial E_{x}/\partial y)\, ly+(\partial E_{x}/\partial z)\, lz+\ldots \approx$

$$\approx \{lx\, (\partial /\partial x)+ly\, (\partial /\partial y+lz\, (\partial /\partial z)\}E_{x}=(\vec{l}\nabla )E_{x}$$

a q-val történõ szorzás után -figyelembe véve a dipólus definícióját-kapjuk

$$F_{xe}=(\vec{m}\nabla )E_{x}\, \, \, illetve\, \, \, \vec{F}=(\vec{m}\nabla )\vec{E}$$

Homogén elektromos térben ez az erõ eltûnik, ti. a $\nabla$ Nabla operátor ugyanis helykoordináták szerinti valamiyen deriválást jelent. Homogén elektromos mezõben ezen deriváltak nullák, itt csak forgatónyomatékot fejt ki a mezõ a dipólusra.

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató