Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató

Polarizáció

A szigetelõket dielektrikumoknak is nevezzük. Ezen anyagokat alkotó molekulák, atomok elektomos dipóljellegébõl következõ fizikai tulajdonságokkal foglalkozunk.

Egyes kémiai anyagok molekuláiban a pozitív és negatív töltések tömegközéppontja eleve nem esik egybe, így állandó dipólmomentummal rendelkeznek. Az ilyen tipusú molekulák legismertebb képviselõje a vizmolekula. Külsõ elektromos mezõ forgatónyomatéka igyekszik 'beforgatni' ezeket a dipólokat az elektromos mezõ irányába. Statisztikus mechanikai ismereteink azt mondják, hogy az ekvipartició szerint a szabadsági fokokra jutó átlagos energia kT/2. Az energián való osztozkodás szempontjából tehát egyenjogú partnerek a haladó mozgás (transzláció) és a forgás (rotáció) szabadsági fokai. Ez a hõmérséklettel ``arányos forgás'' az oka annak, hogy a permanens dipóllal rendelkezõ anyagokban még ha be is állítottuk volna a dipólusokat 'egy irányba', a 'hõmozgás' forgáshoz kapcsolódó része e rendezettséget rövid idõn belül elmosná, s az összevissza mutató dipólmomentumok (vektori) összege végül zérus eredõ dipólmomentumot eredményaz. Az is világosan látszik, hogy a beforgatás kifejezés csupán üres szóhasználat, talán helyesebb ha azt gondoljuk, hogy a molekulák forgásuk során idõátlagban többet töltenek az elektromos mezõ irányában, mint azzal ellentétes irányban, így az alkalmazott elektromos mezõ eredõ térfogati dipólmomentumot hoz létre.

Ha a molekula tölteseloszlása szimmetrikus, azaz a töltés súlypontok egybeesnek (apoláros molekula), akkor a molekula nem rendelkezik saját elektromos dipólussal. Az alkalmazott elektromos mezõ ellentétesen hat a pozitív és negatív töltésekre, vagyis az eredetileg egybeesõ töltésközéppontokat széthúzza, így dipólus keletkezik. Ez azonban -a származása a biztosíték rá-, eleve a térrel megegyezõ irányú.

A kialakuló térfogati $\vec{p}$ dipólsûrûség azaz térfogategység dipólmomentuma (közelítõleg) arányos az alkalmazott elektromos mezõ intenzitásával. $\vec{p}=\kappa \varepsilon _{o}\vec{E}$ . A $\kappa$ (kappa) dielektromos szuszceptibilitás ( csodaszép szó) a szóbanforgó anyag polarizálhatóságát jellemzi. Nagyobb értéke azt jelenti, hogy ugyanazon E térerõ nagyobb térfogati dipólmomentumot hoz létre. A fentiekbõl azt is láthatjuk, hogy a permanens dipóllal rendelkezõ anyagok polarizálhatósága hõmérsékletfüggõ -magasabb hõmérsékleten kisebb a szuszceptibilitás, azaz kevésbé polarizálhatók-, másrészt, ha már 'beforgattuk' a molekulák zömét, akkor a rákövetkezõ térerõ növelés már nem tud újabb molekulákat beforgatni, így az anyag kisebb polarizálhatóságot mutat nagy térerõnél. Ez a telítés jelensége. Ez utóbbi jelenségek -a polarizálhatóság hõmérsékletfüggése, és a telítés jelensége- az apoláros anyagok polarizálhatóságában nem jelentkezik.

A térerõ és a megosztásvektor kapcsolata

----- Folyt. Köv. ----

Vákuumban   $\vec{D}=\epsilon _{o}\vec{E}$

Anyagi közegben   $\vec{D}=\epsilon _{r}\epsilon _{o}\vec{E}$

Ebbõl a vákuum járuléka $\vec{D}_{v}=\epsilon _{o}\vec{E}$

Az anyagi közeg járuléka $\vec{D}-\vec{D}_{v}=(\epsilon _{r}-1)\, \epsilon _{o}\, \vec{E}$ ez pedig nem más mint a térfogati dipólsûrûség, a szóbanforgó közeg polarizációja. A szigetelõ anyagok relatív dielekromos állandójnak értéke tehát az illetõ közeg polarizálhatóságával függ össze.

Laplace-Poisson egyenlete

Az elektrosztatika két alaptörvényének összeírása egy alapvetõen fontos egyenlethez vezet.

A sztatikus elektromos mezõ konzervatív voltát számos, -matematikai alakját tekintve különbözõ - formában fogalmazhatjuk meg. Ezek egyikét használjuk most    $\vec{E}=-grad\, U$

A második alaptörvény differenciális alakja   $\vec{D}=\epsilon _{r}\epsilon _{o}\vec{E}$

Ezek összeírása következik:

$div\, \vec{D}=\rho$     $-div\, (\epsilon _{r}\epsilon _{o}grad\, U)=\rho$

Tartományonként homogén, izotrop dielektrikum esetén az $\epsilon =\epsilon _{r}\epsilon _{o}$ -at kiemelve, valamint mindkét oldalt osztva kapjuk az elektrosztatika Laplace-Poisson ( LP ) egyenletét:

$$\Delta \, U=-\frac{\rho }{\epsilon }$$

Ezen Laplace operátor átírásának formai gazdagságát mutatja a következõ néhány alak $div\, grad\, U=\nabla (\nabla U)=\nabla ^{2}U=\Delta U$ . Descartes koordinátarendszerben ez a következõt jelenti:

$$\frac{\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}=-\frac{\rho (\vec{r})}{\epsilon }$$

Ez egy parciális differenciálegyenlet a meghatározandó $U(\vec{r})$ potenciáleloszlás számára. Ismert $\rho (\vec{r})$ töltéseloszlás esetén tehát az LP egyenlet teszi lehetõvé a meghatározását Az egyértelmû megoldáshoz a vizsgált tartomány peremeire elõírásokat kell tennünk.

Határfeltételek

Az elektrosztatika két alaptörvényéhez jutottunk el. Az egyik a statikus elektromos mezõ konzervatív tulajdonságát mondja ki. Ezt integrális, és differenciális formában fogalmazhatjuk meg:

$$\begin{array}{ccc}\oint _{L}\vec{E}d\vec{s}=0 & & rot\vec{E}=\vec{0}\end{array}$$

Ennek következményeként az elektromos mezõt egy skalár potenciál gradienseként állíthatjuk elõ: $\vec{E}=-gradU$ A másik törvény az elektromos mezõ forrásosságát fogalmazza meg:

$$\begin{array}{ccc}\oint \vec{D}d\vec{A}=\sum Q_{i} & & div\vec{D}=\rho\end{array}$$

A két törvény összeírása vezet az elektrosztatika Laplace-Poisson egyenletéhez.:

$$\Delta \, U=-\frac{\rho }{\epsilon }$$

Ennek megoldása a vizsgált tartomány peremei mentén elõírásokat, un. peremfeltételeket igényel. Ezen peremfeltételeket kívánjuk elõállítani. Némileg általánosítva: tisztáznunk kell, hogy bizonyos fizikai mennyiségek milyen szabályokat kötelesek követni két különbözõ tulajdonságú közeg határfelülete mentén. E szabályok -ha úgy tetszik peremfeltételek- az elektrosztatika alaptörvényeibõl vezethetõk le.

Elsõként a konzervatív tulajdonságot kifejezõ integrális formulát alkalmazzuk, amely szerint tetszõleges zárt L görbére $\oint _{L}\vec{E}d\vec{s}=0$ . Az ábra bal oldalán levõ rajzocska jelöléseit alkalmazzuk. Itt egy 1-es és egy 2-es közeget elválasztó határfelületben egy ds ívelemet helyezünk el. Az ívelem a felület P pontjából, a felület Q pontjába mutat. Ezen P és Q pontokat P'' és Q'' pontokként kiemeljük a 2-es közegbe, illetve P' és Q' pontokként az 1-es közegbe. Zárt L görbét kapunk amelynek körüljárása a P'P''Q''Q'P' sorrendnek felel meg. Erre a zárt görbére követjük el az integrált. Az integrál tartomány szerinti additivitása szerint az egyes görbedarabokra elkövetett integrálok összegeként kapjuk a zárt görbementi integrált. Értelemszerûen e görbedarabok a következõk: P'P'', P''Q'', Q''Q', és végül Q'P'. Most a következõ határátmenetet követjük el:

Visszavisszük P''-t a felületben levõ P-be Q''-t Q-ba úgy, hogy a P''Q'' ívelem is a felület ds íveleméhez közelít azonban mindvégig a 2-es közegben maradva. Ugyanezt elkövetjük az 1-es közegbeli P', Q' pontokkal. A zárt görbementi integrálból ezen átmenet során nullává válnak a P'P'' és a Q''Q' szakaszokra elkövett integrálok, mivel az integrációs tartományuk zerushoz tart. (az integrandust végig korlátosnak tekintjük) Ami marad az P''Q'' illetve a Q'P' ívelemekre elkövetett integrálok. Ezen ívelemek besimulnak a felületbeli ívelembe, igy az integrált az eredeti P''Q'' ívelem helyett, a PQ Ívelemre végezzük el, megõrizve azonban az integrandus 2-es közegbeli, határfelületközeli értékét. Amikor Q'P' ívelemrõl áttérünk a PQ ívelemre, akkor az ellentétes görbeirányítás miatt elõjelváltást kell alkalmaznunk. A következõk maradtak tehát nekünk:

$$\int \vec{E}_{2}d\vec{s}-\int \vec{E}_{1}d\vec{s}=0$$

Egy integrál mögé költöztethetjük mindkettõt. Az E elektromos mezõ vektorát felírhatjuk a ds irányába esõ tangenciális, és arra merõleges (normális) összetevõ összegeként: $\vec{E}=\vec{E}_{t}+\vec{E}_{n}$ Merõlegesség miatt az $\vec{E}_{n}d\vec{s}$ skaláris szorzat nullát ad. Mivel az Et tangenciális összetevõ és a ds ívelem párhuzamosak a skaláris szorzás kifejtése egyszerûen a vektorjelek elhagyását jelenti: $\vec{E}_{t}d\vec{s}=E_{t}ds$ . Ez marad tehát:

$$\int ^{Q}_{P}(E_{t2}-E_{t1})ds=0$$

Mivel az integrál tetszõleges felületbeli Q és P pontok között zérust ad, ebbõl az integrandus zérus értékére következtethetünk, amibõl :

$$E_{t1}=E_{t2}$$

Két közeg határfelülete mentén az elektromos mezõ tangenciális összetevõje folytonosan megy át, vagyis a felület +0 helyen ugyanannyi, mint a felület -0 helyen.

Kövessünk el röptében egy együgyû fizikai alkalmazást : vezetõk (pl. fémek) belsejében az elektromos térerõ nulla (sztatikában), így a tangenciális összetevõ is. Ha ez a felület belsõ oldalán nulla, akkor köteles a felület külsõ oldalán is nullának lenni. Ha tehát kívül elektromos mezõ van, akkor ez csak merõleges lehet. A sztatikus elektromos mezõ merõleges a vezetõ felületére.

----- Folyt. Köv. ----

Figure: Határfeltételek az elektromos mezõre két közeg határfelülete mentén.

$\oint _{L}\vec{E}d\vec{s}=0$     Az 1-es és a 2-es közeget elválasztó határfelületben fekszik a $\overline{PQ}$ ívdarab. Ennek Q és P végpontjait kiemeljük a 2-es közegbe is és az 1-esbe is. Az így kapott hurokra alkalmazzuk a

$$\oint _{A}\vec{D}d\vec{A}=\sum _{j}Q_{j}$$

$$D_{n2}-D_{n1}=\sigma$$

Tartalom Elõzõ Kõvetkezõ Tárgymutató