Vissza a tartalomhozVissza a legelső tételhezVissza az előzző tételhezUgrás a következő tételhezUgrás a legutolsó tételhez

3. tétel: Relativisztikus dinamika: tömegnövekedés, mozgásegyenlet, tömeg-energia ekvivalencia., a Cockroft-Walton kísérlet

Előzmény:

·      A Maxwell egyenletek invariánsak a Lorentz-transzformációval szemben.  Minden inerciarendszerben ugyanolyan alakúak.

·      A Newton törvények a Galilei-transzformációval szemben invariánsak.  Nem invariánsak a Lorentz-transzformációval szemben.  A Newton törvények különböző inerciarendszerekben másként néznek ki.

A Newton törvények nem helyes természeti törvények, mert a helyes természeti törvények minden inerciarendszerben azonos alakúak.

Feladat:

·      A Newton törvények helyett helyes természeti törvények keresése.

·      Minél több fogalmat, törvényt szeretnénk a régiekből megtartani.

 

Ragaszkodunk a következőkhöz:

Ha nincs erőhatás, akkor a lendület maradjon állandó (a lendület megmaradás zárt rendszerben igaz).

Nyílt rendszerben igaz a  összefüggés, ahol  de elvetjük a tömeg állandóságát: m=m (v)

 

Egy speciális esetben levezetjük az m(v) összefüggést:

                    

 

K' -ben a

sebesség

K- ban a

sebesség

K- ban a

tömeg

ütközés

előtt

ütközés

után

ütközés

előtt

ütközés

után

ütközés

előtt

ütközés

után

p

V'

0

v

V'

m

-V'

0

0

V'

 

p és egyforma részecske a saját rendszerében.

 

Tökéletesen rugalmatlan ütközés (közös sebességük lesz ütközés után)

K' -ben a két részecske tömege egyforma volt.

 : a részecske tömege a saját rendszerében, nyugalmi tömeg

 

Tömegmegmaradásban hiszünk:

      ( K -ban )

Lendületmegmaradás:   ( K - ban )

 

 

m = m ( v ) = ?

 

Emlékeztető: A sebességtranszformációs képlet:

Itt:

    , mert               alakot keressük

 

         

     másodfokú egyenlet -re

 

a - (mínusz) jel csak  esetén; a természetben nem fordul elő, mert .

 

 

           

Ha a tömeg sebességfüggő lesz, akkor fenntartható az impulzus-megmaradás és a tömegmegmaradás.

 

MOZGÁSEGYENLET RELATIVISZTIKUSAN:

Mivel a relativisztikus dinamikában is ragaszkodunk az F = p és p = m*v összefüggésekhez, ezért felírhatjuk az

              (1)

egyenletet. Ahol meg kell jegyeznünk, a gyorsulás általában nem párhuzamos az erő irányával. Tudjuk azt is, hogy:

m = m0 g=                 (2)

 

 

Ezt behelyettesítve kapjuk magát a relativisztikus mozgásegyenletet:

                                 (3)

 

 

Példaként tekintsük az állandó erő hatása alatt mozgó tömegpontot! F = F0 (időben állandó).

Klasszikusan:                              F0 = ma ==> a = (gyorsulás)

kezdőfelvétel:                                V(t=0) = 0

V= at = F0t / m

                                                                                              (4)

Relativisztikusan: Mivel egyenes vonalú egyenletes mozgásról van szó, a (3) egyenletből a vektorjelek elhagyhatók.

F0 =                   (5)

 

Az idő szerint integrálva, és a kapott egyenletre a Newton-Leibniz tételt alkalmazva

                                                     F0t =   =                          (6)

                                                    =                                     (7)

                                                    F0t=                                                (8)

                                                                                                         (9)

                                                             (10)

                                                                                                      (11)

 

A c -t soha nem lépheti át ez a görbe.==> A nyugalmi tömegű részecske a fénysebességet soha nem érheti el.

Ha m0=0, akkor V=c.

Ha m0 nem egyenlő 0-val, akkor V< c.

Ha nyugalmi tömeggel nem rendelkező részecskét mozgásba hozunk, akkor az fénysebességgel mozog.

Relativisztikus teljesítménytétel:

Klasszikus fizikában:

                         // Ezt a részt meg szeretnénk tartani

 

P=teljesítmény

 

                // Ez a rész nem fog megmaradni

 

T=kinetikus energia

 

 // Ha a mozgás egyenes vonalú

            //: relatív sebesség

              Nevezzük ezt az (1)-es egyenletnek.

 

Segédtétel:

 

                                 (  )

Biz:

 

A segédtételt felhasználva az (1)-es egyenletre:

 

                             // Csak a g  függvénye az időnek ,ezért a másik tag deriváltja nulla.

 

 

 

          (2)

 

                          // így a (2)-es egyenlet egyszerűsíthető m-el

 

                                    // így

 

 

 

A tömegpontra ható erők teljesítménye egyenlő a tömegpont tömegének a sebesség négyzetének szorzatának az idő szerinti deriváltjával.

 

           // Figyelembe véve a  hogy

T=kinetikus energia

 

Feltétel:            T=0 ha V=0

 

         

 

 

 

 

      Relativisztikus kinetikus energia

 

Azt várjuk, hogy ebből a képletből kijön a klasszikus kinetikus energia képlete, miszerint .

 

 

A Taylor sorfejtést akarjuk használni, melynek általános alakja:

 

 

Ezt használva az egyenletre:

 

 

 Nem elégszünk meg az első el nem tűnő taggal, 2 is kell.

 

                     ha V<<c

 

              

 

teljes relativisztikus energia

nyugalmi energia

 

                                      : teljes tömeg : nyugalmi tömeg: kinetikus tömeg

 

        Tömeg - energia ekvivalencia

 

 

Bármely energia megkapható, ha a tömeget megszorozzuk a -el.

 

Az energiamegmaradás mostantól csak a teljes relativisztikus energiára igaz.

Tömegmegmaradás a teljes tömegre érvényes.

Ez kísérleti tapasztalatból ismert.

 

Megjegyzés:

A szén égése

 

C+O2=CO2

 

A kémikusok a múlt évszázadban közönséges - tehát nem precíziós a mai értelemben - mérleggel végzett méréssel azt tapasztalták, hogy a reakció során a kezdeti tömegek megegyeznek a végtömegekkel, azaz:

 

m(C)+m(O2)» m(CO2).

 

Napjainkban -pontos- szupermérleggel végzett mérés során azonban azt tapasztaljuk, hogy a tömegmegmaradás nem áll fenn, ugyanis a fény is elvisz egy bizonyos tömeget, azaz:

 

m(C)+m(O2)>m(CO2).

 

A kezdeti tömeg mk=m(C)+m(O2) és a végtömeg mv=m(CO2) esetén Dm=mv-mk.

A m a tömeghiány vagy más néven a tömegdefektus, melyre igaz hogy:

0>Dm.
A tömegdefektus és a kezdeti tömeg aránya:

 

 nagyságrendű, ami a kémia módszereivel kimutathatatlan.

Atommagfizikai kísérlet

Cockroft - Walton kísérlet /1932, ők gyorsítottak először töltött részecskéket/.

A kísérlet lényege, hogy protont gyorsítottak fel néhány százezer volt feszültséggel, és Lítiumnak ütköztették.

 

. Tapasztalatuk a következő volt:

 

 

A reakció során tehát nyugalmi tömeg tűnik el. A tömeghiány és a kezdeti tömeg aránya:

,amely a mai műszerekkel már igen pontosan mérhető.

 

Kinetikus energiák

 

 a reakció során keletkezett kinetikus energia.
Mint tudjuk , tehát  mivel a fénysebessége /c/ állandó.
Dm=0 azaz a reakció során megmaradt az össztömeg. Helytelen tehát azt mondani, hogy tömegből energiát csináltunk a folyamatban. Helyesen azt mondhatjuk, hogy a nyugalmi tömeg kinetikus tömeggé alakul vagy másképpen fogalmazva a nyugalmi energia kinetikus energiává.


nyugalmi tömeg
® kinetikus tömeg,
nyugalmi energia
® kinetikus energia.

Párkeltés, szétsugárzás

 

 

 

 

 

 

A g sugárzásból elektron - pozitron pár keletkezik és az összes energia tömeg, és impulzus megmarad, csak némileg átalakul. A kinetikus energia részben (vagy teljesen) nyugalmi energiává alakul.

 

 

 

 

 

 

 

A párképződés ellentétét a szétsugárzást (annihilációt) is megfigyelték. Ekkor elektron és pozitron ütközik, mindkettő eltűnik és tömegükkel megegyező energiájú g - sugárzás keletkezik. Itt a nyugalmi energia kinetikus energiává alakul.

 

Záró megjegyzés

 

A speciális relativitáselmélet tulajdonképpen a klasszikus fizika betetőzése. Lényegében nem tesz mást, mint kiküszöböli a klasszikus fizika kiépítése során elkövetett hibákat.

 

Hasonlat: A klasszikus fizika egy lapos tetős tízemeletes ház. A lapos tető azonban tökéletlen és az épület beázik. A beázást ház legfelső szintjén lakó fizikusok észlelik, ám a földszinten lakó mérnökök nem. A relativitáselmélet magas tetőt tesz a klasszikus fizika épületére. A beázás ezzel megszűnik.

Vissza a tartalomhozVissza a legelső tételhezVissza az előzző tételhezUgrás a következő tételhezUgrás a legutolsó tételhez