Vissza a tartalomhozVissza a legelső tételhezVissza az előzző tételhezUgrás a következő tételhezUgrás a legutolsó tételhez

18. tétel: Kvantumstatisztikák. A klasszikus-, a Bose-Einstein- és a Fermi-Dirac statisztika

 

Azonos részecskék:

 

pl.: atom tartalmaz N -db elektront.

 az atomban felcserélünk két elektront: 1. 2.

 két elektron felcserélése semmilyen mérhető fizikai mennyiségre nincs semmilyen hatással.

 =

=;         =1 visszacseréljük a két elektront.

==  tehát

=1

ha =1 akkor a hullámfüggvény szimmetrikus a 2. részecske felcserélésére. bozonok, a spinvetületük egész számú többszöröse. (Pl.: fotonok, egyes atomok He).

 

Ha = -1 akkor a hullámfüggvény antiszimetrikus a két részecske felcserélésére. fermionok spinvetületük  illetve - lehet (pl.: elektron, proton, neutron).

 

Pauli elv általános alak:

 

A természetben csak antiszimmetrikus elektronállapotok valósulnak meg. Ebből következik a független részecske közelítésére érv. Pauli elv.

 

Ugyanis tegyük fel, hogy két elektron ugyanabban az állapotban van:

 

A függvény nem lehet azonosan 0, így az előző egyenlet ellentmondást takar. Bármely két Y-nek különböznie kell, mert különben az antiszimmetria nem teljesül.

 

Emlékeztető

A Boltzmann statisztika alapfeltevései voltak:

1., A részecskék megkülönböztethetőek

2., A fáziscella tetszőlegesen kicsire választható

3., Egy cellában tetszőlegesen sok részecske elhelyezhető

 

A kvantummechanikának mindhárom alapfeltevéssel szemben ellenvetései vannak:

 

 A mikrorészecskék megkülönböztethetetlenek

               Nem hordoznak ismertetőjegyeket, nem követhető a pályájuk

 

                       

                    a fáziscella nem lehet tetszőlegesen kicsi.

 igaz a szimmetrikus hullámfüggvényű részecskékre (bozonokra)

                                   Bose-Einstein statisztika igaz rájuk

        nem igaz az antiszimmetrikus hullámfüggvényű részecskékre (fermionokra)

                                   Fermi-Dirac statisztika igaz rájuk

pl.: 2 részecske 3 cellában:

            Hány lehetőség van?

Boltzmann

 

 

Bose-Einstein

 

 

Fermi-Dirac

ab

 

 

 

 

**

 

 

 

 

*

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

**

 

 

 

*

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ab

 

 

*

*

 

 

 

 

*

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

 

 

*

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

a

 

 

 

 

*

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

b

 

 

 

 

**

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Az energia-eloszlásfüggvények megkonstruálása:

pl: az impulzustérben egy origó középpontú végtelenül vékony gömbhéj belsejében azonos az energia

 
Vannak energiarétegek (rétegen belül a cellák energiája azonos)

az i. rétegben van  cella és  részecske.

 

1. réteg   cella  részecske

2. réteg   cella  részecske

   .

   .

  

 

  Hányféleképpen helyezhetők el a részecskék?

            Boltzmann-statisztika:

                        pl:                                32 = 9

                          ez fejezi ki azt hogy a részecskék megkülönböztethetőek.

            Bose-Einstein:  (ismétléses kombináció)

                                                           pl.:  

            Fermi-Dirac:  (ismétlés nélküli kombináció)

                                                           pl.:      

 

A fentiekből származtathatóak a megfelelő eloszlásfüggvények (lásd: Fizika I.), felhasználva az alábbiakat:

            - Stirling-formula                      n! = (n/e)n    ha n igen nagy

            - részecskeszám állandó           =állandó

            - az összenergia állandó           =állandó

            -  entrópia maximumának keresése a fenti két mellékfeltételekkel

 

 

Az eloszlásfüggvények:

Boltzmann:                   A: a részecskeszámra vonatkozó mellékfeltételből számolható

Bose-Einstein:

Fermi-Dirac:

Megjegyzések:

1, Ha   akkor,   azaz a három statisztika ugyanarra az eredményre vezet.

Ebben az esetben a kvantumstatisztikák tartanak a klasszikushoz.

A klasszikus (Boltzmann) akkor jó közelítés, ha  nem nagyon kicsi, és a részecskék nincsenek nagyon sűrűn. Most már érthető, hogy miért adott helyes eredményt a Boltzmann statisztika nem túl szélsőséges állapotú gázokra.

 

2, Ha  kicsi vagy igen nagy a sűrűség, akkor nem alkalmas a Boltzmann statisztika ( a gáz nem tekinthető ideálisnak - elfajult gáz)

Az atomok Bose-Einstein kondenzációja (az, hogy igen alacsony hőmérsékleten az összes atom egyetlen fáziscellába rakható) a 90-es évek atomfizikájának igen lényeges eredménye.

 

Lényegében a Bose-Einstein kondenzáció témakörébe tartozik néhány makroszkópikusan is megnyilvánuló kvantummechanikai effektus: a szuperfolyékonyság és a szupravezetés. (Most nincs idő tárgyalni őket.)

3. Bose–Einstein-statisztika alkalmazása fotongázra

 

 

 

                                                                                                                                            

 

Fotonok: egymástól megkülönböztethetetlenek, egy fáziscellába tetszőleges számú kerülhet.

Nincs részecskeszám megmaradás előírva (keletkezhetnek, eltűnhetnek szabadon).Ez utóbbi következménye, hogy             A = 1. (bizonyítás nélkül)

 

Továbbá ismert, hogy   Ei = hn

 

 

 

 

 

 

 

 

Ebből levezethető a Planck-féle sugárzási törvény, ha megadom          -et. (Bose 1924.)

 

            4. Fermi-Dirac-statisztika alkalmazása "elektrongázra"

 

 

Az  a részecskeszámra vonatkozó mellékfeltételből kijön

 

EF  neve  : Fermi-energia

 

Nézzük meg, hogy általában egy fáziscellában hány részecske lesz !

Azaz mivel egyenlő                       

 

 

 

 

EF – nél a fáziscellák éppen 50 % -a van betöltve

 

 

 

 
 


esetben a Fermi-szint alatti állapotok betöltve, fölötte üresek.

 

Az elektronok többségének az energiája nem változik

“elektrongáz” – a szabadon lévő elektronok nem tekinthetők annak, csak akkor, ha az elektronok kölcsönhatását (taszítást) a pozitív ionok leárnyékolják.

 

Következmény:

A fémek fajhőjéhez a szabad elektronok csak elhanyagolható járulékot adnak.

(pl.: 1000K –nél a járulék 2 %)

 

A fémben lévő szabad elektronokra nem érvényes az ekvipartíció tétel !!!

Vissza a tartalomhozVissza a legelső tételhezVissza az előzző tételhezUgrás a következő tételhezUgrás a legutolsó tételhez