18. tétel: Kvantumstatisztikák. A klasszikus-, a
Bose-Einstein- és a Fermi-Dirac statisztika
Azonos részecskék:
pl.: atom tartalmaz N -db elektront.
az atomban
felcserélünk két elektront: 1. 2.
két elektron
felcserélése semmilyen mérhető fizikai mennyiségre nincs semmilyen hatással.
=
=; =1 visszacseréljük a két elektront.
== tehát
=1
ha =1 akkor a hullámfüggvény szimmetrikus a 2. részecske
felcserélésére. bozonok, a spinvetületük egész számú többszöröse. (Pl.: fotonok, egyes atomok He).
Ha = -1 akkor a hullámfüggvény antiszimetrikus a két részecske
felcserélésére. fermionok spinvetületük illetve - lehet (pl.: elektron, proton, neutron).
Pauli elv általános alak:
A természetben csak antiszimmetrikus elektronállapotok
valósulnak meg. Ebből következik a független részecske közelítésére
érv. Pauli elv.
Ugyanis tegyük fel, hogy két elektron
ugyanabban az állapotban van:
A függvény nem lehet azonosan 0, így az előző egyenlet
ellentmondást takar. Bármely két Y-nek különböznie kell, mert
különben az antiszimmetria nem teljesül.
Emlékeztető
A
Boltzmann statisztika alapfeltevései voltak:
1.,
A részecskék megkülönböztethetőek
2.,
A fáziscella tetszőlegesen kicsire választható
3.,
Egy cellában tetszőlegesen sok részecske elhelyezhető
A kvantummechanikának mindhárom alapfeltevéssel szemben
ellenvetései vannak:
A mikrorészecskék
megkülönböztethetetlenek
Nem hordoznak ismertetőjegyeket, nem
követhető a pályájuk
a fáziscella nem lehet tetszőlegesen
kicsi.
igaz a szimmetrikus
hullámfüggvényű részecskékre (bozonokra)
Bose-Einstein
statisztika igaz rájuk
nem igaz az antiszimmetrikus hullámfüggvényű részecskékre (fermionokra)
Fermi-Dirac
statisztika igaz rájuk
pl.: 2 részecske 3
cellában:
Hány
lehetőség van?
Boltzmann |
|
|
Bose-Einstein |
|
|
Fermi-Dirac |
||||||
ab |
|
|
|
|
** |
|
|
|
|
* |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ab |
|
|
|
|
** |
|
|
|
* |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ab |
|
|
* |
* |
|
|
|
|
* |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
* |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
a |
|
|
|
|
* |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
** |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Az
energia-eloszlásfüggvények megkonstruálása:
pl: az impulzustérben egy origó középpontú
végtelenül vékony gömbhéj belsejében azonos az energia
Vannak energiarétegek (rétegen belül a cellák energiája azonos)
az i. rétegben van cella és részecske.
1. réteg cella részecske
2. réteg cella részecske
.
.
Hányféleképpen helyezhetők el a részecskék?
Boltzmann-statisztika:
pl: 32 = 9
ez fejezi ki azt
hogy a részecskék megkülönböztethetőek.
Bose-Einstein: (ismétléses kombináció)
pl.:
Fermi-Dirac: (ismétlés nélküli kombináció)
pl.:
A fentiekből származtathatóak a megfelelő eloszlásfüggvények
(lásd: Fizika I.), felhasználva az alábbiakat:
-
Stirling-formula n! =
(n/e)n ha n igen nagy
-
részecskeszám állandó =állandó
- az összenergia állandó =állandó
-
entrópia maximumának
keresése a fenti két mellékfeltételekkel
Az eloszlásfüggvények:
Boltzmann: A: a részecskeszámra vonatkozó mellékfeltételből
számolható
Bose-Einstein:
Fermi-Dirac:
Megjegyzések:
1,
Ha akkor, azaz a három
statisztika ugyanarra az eredményre vezet.
Ebben
az esetben a
kvantumstatisztikák tartanak a klasszikushoz.
A
klasszikus (Boltzmann) akkor jó közelítés, ha nem nagyon kicsi, és
a részecskék nincsenek nagyon sűrűn. Most már érthető, hogy miért adott helyes
eredményt a Boltzmann statisztika nem túl szélsőséges állapotú gázokra.
2,
Ha kicsi vagy igen nagy
a sűrűség, akkor nem alkalmas a Boltzmann statisztika ( a gáz nem tekinthető
ideálisnak - elfajult gáz)
Az
atomok Bose-Einstein
kondenzációja (az, hogy igen alacsony hőmérsékleten az összes atom
egyetlen fáziscellába rakható) a 90-es évek atomfizikájának igen lényeges
eredménye.
Lényegében
a Bose-Einstein kondenzáció témakörébe tartozik néhány makroszkópikusan is
megnyilvánuló kvantummechanikai effektus: a szuperfolyékonyság és a
szupravezetés. (Most nincs idő tárgyalni őket.)
3. Bose–Einstein-statisztika
alkalmazása
fotongázra
|
Fotonok:
egymástól megkülönböztethetetlenek, egy fáziscellába
tetszőleges számú kerülhet.
Nincs részecskeszám megmaradás előírva
(keletkezhetnek, eltűnhetnek szabadon).Ez utóbbi következménye, hogy A = 1. (bizonyítás nélkül)
Továbbá
ismert, hogy Ei = hn
|
|
Ebből levezethető a Planck-féle sugárzási törvény, ha megadom -et. (Bose 1924.)
4.
Fermi-Dirac-statisztika alkalmazása "elektrongázra"
|
Az
a részecskeszámra vonatkozó mellékfeltételből
kijön
EF neve : Fermi-energia
Nézzük meg, hogy általában egy fáziscellában
hány részecske lesz !
Azaz
mivel egyenlő
|
|
EF – nél a
fáziscellák éppen 50 % -a van betöltve
esetben a Fermi-szint alatti állapotok
betöltve, fölötte üresek.
“elektrongáz” – a szabadon lévő elektronok nem
tekinthetők annak, csak akkor, ha az elektronok kölcsönhatását (taszítást) a
pozitív ionok leárnyékolják.
Következmény:
A
fémek fajhőjéhez a szabad elektronok csak elhanyagolható járulékot adnak.
(pl.: 1000K –nél a járulék 2 %)