2. tétel: A
Lorentz-transzformáció, kinematikai következmények
A
speciális relativitás elvének megfelelő transzformáció
A Lorentz transzformáció
(A lényegét Einstein ismerte fel.)
A keresendő alak:
Feladat: 
meghatározása
I. 
meghatározása K-ban
II. O mozgása 
A
rendszerek egyenértékűségéből: ez a sebességfüggvény.
Ezeket
felhasználva:
Fényjel a +x tengely irányába
K és 
egyenértékűsége miatt a „visszatranszformáció”
alakja is ugyanolyan kell legyen
A
mínusz előjel rossz lenne, ezt onnan látjuk, hogyha a V=0 esetet nézzük.
Megjegyzés: c=299792458
A
transzformáció visszafelé:
Lorentz transzformáció
lineáris (változók helyébe differenciáljukat írhatjuk):
Kinematikai következmények
1. sebességtranszformáció:
y
irányú sebességet befolyásolja az x irányú sebesség
Példa: Két repülőgép egymással szembe mozog,
a fölről nézve mindkettőnek 1000 m/s a sebessége. Mekkora a relatív sebességük?
Legyen:
2. Idődilatáció:
Sajátrendszer: amiben a részecske áll
K' egy részecske sajátrendszere
(a részecskén bekövetkező két esemény
távolsága 0)
: a két esemény
közt eltelt idő a részecske saját rendszerében
ha
Ha nem a sajátrendszerből nézzük a két
eseményt, akkor az eltelt idő hosszabbnak tűnik.
Példa: a müon esete 
A magaslégkörben
keletkezett müon elbomlik.
: elektron anti-neutrínó
: müon-neutrínó
élettartama a saját rendszerében
c-vel haladva 
Ennél messzebb nem juthatna.
Kísérlet alapján :
20 km-t megtéve a többségük még nem bomlik el.
(a magaslégkörből a
Föld felszínére érnek)
Ez az idődilatáció
első kísérleti bizonyítéka.
3. Távolságkontrakció:
-ben egy rúd áll (nem mozog ;) 
A mozgó rúd hosszának
megmérése:
|
|
A főóra (F) akkor áll meg,
ha a rúd eleje odaér. A többi óra (A), akkor, ha
a rúd vége ér oda. |
Kiválasztjuk az egyforma állású órákat.
Tehát más
rendszerből nézve rövidebb lesz.
Probléma: két vonatról nézve mindig a másik
látszik rövidebbnek.
Feloldás:
Magyarázat: a másik rendszerben nem
ugyanakkor nyomták le az órákat. (legalábbis az első rendszerből úgy látszott)
4.
Egyidejűség:
Ha 
csak ha 
is teljesül.
Példa:
a, 1987A (amely
1987-ben fénylett föl a Nagy Magellán Felhőben) jelű szupernova 60.000 fényévre van tőlünk, azaz 60.000 évvel
ezelőtt robbant fel a Föld rendszerében.
b, A régészek
találtak egy 60.000 éves csontvázat. (Ez azt jelenti, hogy a csontvázhoz tartozó
ember 60 ezer éve halt meg.)
A Föld rendszerében a két
esemény (a robbanás és az ősember halála) egyidejűleg történt, más rendszerben
lehet, hogy más időpontban.
5. Az
ok-okozat időrendje:
Legyen adott két esemény:
1. esemény:
ok (pl.: felrobbant a szupernova a Nagy Magellán felhőben) paraméterei: x1
, t1
2. esemény:
okozat (pl.: megírták a Földön az újságok)
paraméterei: x2 ,
t2
Képezzük:
x=x2 - x1
t=t2
- t1 } a Föld
rendszerében.
x: két esemény távolsága
t: a két esemény időtávolsága
c, (mert a jel odaért) 1. feltétel: A fény
sebességénél nincs nagyobb sebességű jel.
A vesszős rendszerben (tetszőleges másik rendszer) is először az ok,
majd az okozat következik. Lássuk miért:
,
xct
, 
V
< c 2. feltétel
Figyelembe vesszük, hogy
koordináta rendszer csak anyagi ponthoz rögzíthető.
>0, (ugyanúgy,
mint t) azaz bármely inerciarendszerben
az ok megelőzi az okozatot.