4. tétel: A hőmérsékleti sugárzás

A kvantummechanika kísérleti alapjai

Bevezetés

A következőkben azokat a századforduló táján kutatott főbb jelenségeket tekintjük át, amelyek megértése a klasszikus fizika alapján nem volt lehetséges. E jelenségek vizsgálata vezette a fizikusokat a mikrovilág, az atomok törvényszerűségeinek felismeréséhez, így ezek alkotják az új tudományág, a kvantumelmélet kísérleti alapjait. Történeti és didaktikai szempontok alapján is célszerű e jelenségek vizsgálatát a hőmérsékleti sugárzással kezdeni. Ezzel a jelenséggel a klasszikus tárgyak (termodinamika, elektrodinamika) keretében nem foglalkoztunk, bár számos jellemzője jól megérthető lenne ezeken a tudományágakon belül is. Így vizsgálatainkat a hőmérsékleti sugárzásra vonatkozó klasszikus eredményekkel kezdjük.

A hőmérsékleti sugárzás

Alapjelenségek

Mindennapi tapasztalat, hogy a melegített testek hősugárzást (infravörös sugárzást) bocsátanak ki. Például a forró kályha melegét a bőrünk a fűtőtesttől távol akkor is érzékeli, ha a szoba levegője egyébként még hideg. A testeket tovább melegítve azok egyre nagyobb frekvenciájú elektromágneses sugárzást bocsátanak ki (vörös- majd fehér izzás), miközben a kibocsátott összenergia a hőmérséklettel rohamosan növekszik. Mivel ezzel az elektromágneses sugárzás kibocsátó képességgel minden melegített test rendelkezik, ennek az oka nyilvánvalóan a test hőmérséklete és nem különleges összetétele. Így ezt a sugárzást hőmérsékleti sugárzásnak nevezzük. Nyilvánvaló, hogy vannak különleges összetételű testek (fénycső, szentjánosbogár, stb.), amelyek hidegen is képesek fényt kibocsátani és sugárzásuk nem ebbe a kategóriába tartozik (lumineszcencia sugárzások). Már a múlt század első felében ismertté vált az a tény is, hogy hőmérsékleti sugárzást a környezetüknél hidegebb testek is kibocsátanak, ennek a mennyisége azonban kisebb annál, mint amit e tárgyak a környezet sugárzásából elnyelnek. Ehhez hasonlóan a hőmérsékleti egyensúly nem a hősugárzás hiányát jelenti, hanem csak azt, hogy a környezetével hőmérsékleti egyensúlyban lévő tárgy pontosan annyi energiát sugároz ki, mint amennyit elnyel. Szintén több mint egy évszázados az a felismerés, hogy a tárgyak sugárzás kibocsátó képessége (emisszióképesség) és sugárzás elnyelő képessége (abszorpcióképesség) egymással szigorúan arányos mennyiségek.

Spektrális emisszióképesség: e ( n, T )

A T hőmérsékletű test egységnyi felülete által egységnyi idő alatt a n körüli egységnyi frekvenciatartományban kisugárzott elektromágneses energia. Anyagfüggő.

[teljesítménysűrűség / frekvencia]

Spektrális abszorpcióképesség: a ( n, T )

Megadja, hogy a T hőmérsékletű test a n körüli egységnyi frekvencia-tartományban a ráeső elektromágneses sugárzás hányad részét nyeli el. Anyagfüggő.

0 < a ( n, T ) < 1 ( dimenziótlan )

KIRCHHOFF törvény:

: anyagi minőségtől független univerzális függvény.

Azaz bár a test emisszióképessége és abszorpcióképessége anyagfüggő, a hányadosuk független az anyagi minőségtől.

A fizikában arra törekszünk, hogy anyagi minőségtől független egyenleteket alkossunk, ezért E(n,T)-t akarjuk használni.

Ha a(n,T)=1 akkor a test abszolút fekete test. Ekkor e(n,T) = E(n,T).

Az abszolút fekete test modellje:

Legjobb modellje egy üreg falán lévő lyuk. Az üregbe a lyukon belépő sugárzás a szemközti falon szóródva igen kis eséllyel tud a lyukon visszamenni. A modell akkor jó, ha a lyuk mérete igen kicsi az üreghez képest. Még tökéletesebb a modell, ha az üreg fala maga is jó sugárzás elnyelő, tehát pl. kormozott.

detektor: eszköz, melyben egy hőmérő a bejövő sugárzást méri

Izzítsuk a testet T hőmérsékletre, majd blendézzük ( blende = pici rések sorozata ).

Bármely közeg törésmutatója függvénye a frekvenciának Þ DISZPERZIÓ / n = n (n) /

Eredmény: Az abszolút fekete test sugárzásának spektrális eloszlása.

e(, T)

n_max1 n_max2

n_max1 : a maximális spektrális emisszióhoz tartozó frekvencia T₁ hőmérsékleten.

n_max2: a maximális spektrális emisszióhoz tartozó frekvencia T₂ hőmérsékleten. T₂ > T₁

Állítások:

1. Melegebb fekete test minden frekvencián jobban sugároz ( több sugárzást bocsát ki )

2. A kibocsátott összenergia ( egységnyi felület által kibocsátott összes energia ) :

E(T) a hőmérséklet növelésével rohamosan növekszik.

Az ehhez tartozó kvantitatív képlet:

E(T)= s T⁴ Stefan - Boltzmann törvény

( a kibocsátott összenergia az abszolút hőmérséklet negyedik hatványával arányos ) s : Stefan - Boltzmann konstans, értéke :

( ez az érték kísérletileg és elméletileg is bizonyított )

pl: T₂=2 T₁

E(T₂)=16 E(T₁)

Tehát kétszer magasabb hőmérsékletű test tizenhatszor több energiát bocsát ki.

3. Ha a hőmérséklet ( T ) nő, akkor a maximális spektrális emisszióhoz frekvencia (n_m) is nő.

Minél jobban melegítjük annál nagyobb frekvenciájú a sugárzás.

WIEN – törvény ( Wien - féle eltolódási törvény )

( Másik alakja)

A spektrális eloszlásfüggvény E(n,T) levezetése:

(Planck 1900. December 14. a Porosz Akadémián 17 nappal a századunk előtt.)

1. Lépés Rayleigh-Jeans törvény(levezetése)

A klasszikus termodinamika nem tudta megmagyarázni az eloszlásfüggvény alakját, ez csak a kvantummechanika segítségével látható be.

U(n,T) : spektrális energiasűrűség: ez a 3. spektrális mennyiség. Jelentése: A n körüli egységnyi frekvenciatartományra eső elektromágneses sugárzás energiasűrűsége.

Bizonyítható: U(n,T) ~ e(n,T) ( )

U(n,T) = Z(n,T)e Ahol Z a n körüli egységnyi frekvenciatartományban, egységnyi térfogatban lévő állóhullám módusok száma, e pedig az egy állóhullám módusra jutó átlagos energia.

Az üregben az elektromágneses sugárzás (energia) nyilvánvalóan elektromágnese állóhullámok formájában van jelen, hisz a sugárzás kitölti az üreget.

1 dimenzióban:

n jelenti azt, hogy hány félhullám fér el.

3 dimenzióban: n₁, n₂, n₃ jellemzi az állóhullámot ( 1 dimenzióban csak n jellemezte ). Egy ilyen számhármassal jellemzett állóhullám az állóhullám módus. Mivel ilyen számhármas végtelen sok lehet ezért végtelen sok állóhullám alakulhat ki, a módusok száma is végtelen.

Állítás:

z(n,T) ~ n²

z(n,T) = Kn² ahol K az arányossági tényező, természeti állandó

Bizonyítás:

Kiindulunk 1 dimenzióból:

tudjuk:

3 dimenzióban:

ilyen frekvenciájú állóhullám módusok alakulhatnak ki

átalakítjuk:

Az érdekel minket, hogy a n körüli egységnyi frekvenciatartományba hány állóhullám módus esik.

Annyi állóhullám módus létezik ahány pozitív helykoordinátákkal jellemzett pont van.

Azon pontok melyeknek koordinátáinak négyzetösszege megegyezik, azok frekvenciája is megegyezik.

Megvizsgáljuk, hogy a sugarú gömbnyolcad egységnyi vastagságú héja hány pontot tartalmaz.

Következtetés: annyit amennyi a térfogata ( ez jó közelítés ha a gömbök nagyok )

A nyolcad gömb térfogata: , mert dn=1

az állóhullám módusok száma ennek 2-szerese, mert az elektromágneses hullámban 2-féle polarizáció létezik.

;

: Egy állóhullám módusra jutó átlagos energia.

Klasszikus fizika szerint: Egy állóhullám módus a termodinamika szerint két termodinamikai szabadsági fokú rendszer.

Rayleigh-Jeans törvény

k: Boltzmann-állandó

A parabolák csak kezdetben írják le jól. Ez csak kis frekvenciánál igaz.

2. Lépés

1900 dec. 14. Planck:

A termodinamikában van a hiba. Nem jó az ekvipartíció minden körülmények között.

Átlagos osszcillátor energia= osszcillátor=módus

Igaz a Boltzmann-féle energia eloszlás!

Diszkrét energiák összegeként képzeljük el! Ezeket a diszkrét cellákat kicsinyítjük, hogy folyamatos legyen.

n: egész szám n= 0,1,2,.........

Ha tartana a 0-hoz, akkor visszakapnánk a folytonos energia esetét. Mindig ezt csináljuk a klasszikus statisztikában.

Képezzük a nevezőt!

nevezője:

Bevezetem a változót.

1.

Ezt deriváljuk szerint:

2. : energia

számlálója

Az 1.-t és a 2.-t visszahelyettesítjük:

Kijön-e a klasszikus fizika eredménye? (Azaz ha e₁ 0 )

e =1+ + +...... sorfejtés

Ha a feltételezett ugrások kicsik, akkor visszakapjuk a klasszikus fizika eredményét.

e₁ 0 - ebbe kötött bele Planck. Planck feltételezése:

Az átadható energiaadag egy véges érték egész számú többszöröse.

e₁ 0 annál inkább téves , minél nagyobb a frekvencia. Tehát kézenfekvő, hogy

e₁=h×n

Planck bevezetett egy új változót: h - Planck állandó

A kísérleti adatokkal akkor a legjobb az egyezés, ha h=6,63×10^-34 Js

Az adag neve idegen szóval kvantum.

Behelyettesítünk:

u(n,T)= K×n²× = K×n²×

u(n,T)=K×

Ez a Planck-féle sugárzási törvény

A Planck-féle sugárzási törvényből integrálással levezethető a Stefan-Boltzmann törvény, deri-válással a Wien törvény.

Megjegyzés: a fényforrások hatásfoka

T₁=3000 K T₂=6000 K

T1-nél láthatóra esik 5%

T2-nél láthatóra esik 39%

Célszerű a 6000 K hőmérsékletű fényforrást használni, körülbelül ennek a hatásfoka optimális.

A 3000 K hőmérsékletű fényforrás főleg hőt bocsát ki. ( pl. izzólámpa )

A Nap optimális fényforrás , pontosan 6000 K-es.

Összefoglalva:

= kT ha T és n állandó vagy n és T állandó

0 ha n és T állandó vagy T0 és n állandó

A nagyfrekvenciás módusok általában nem léteznek.