13. tétel:
Az energiasajátérték-egyenlet megoldása: a kötött részecske
kvalitatív tárgyalása. A (0, a)
intervallumra korlátozott részecske.
Energia
sajátérték - egyenlet megoldása (időfüggetlen Schrődinger
egyenlet)
Bármely probléma során fellépő energia
sajátfüggvény és értékek kiszámítására alkalmas.
Egy dimenzióban:
A kötött
állapot kvalitatív tárgyalása
Rendezzük az egyenletet:
A „gödör” amelyben a tetszőleges részecske
kötve van. A vízszintes vonal a teljes energiát, a görbe a potenciális energiát
jelenti. A két energia az x1 és x2 értékeknél egyezik.
Ha: 
: klasszikus mozgástartomány
Az összenergia
nagyobb, mint a potenciális: 
(V(x)-E)<0 
és 
ellentétes előjelűek.
(A másodrendű derivált a görbülettel van
összefüggésben.)
Második
eset: 
vagy 
: ezeket a tartományokat a klasszikus részecske nem érheti el.
Az
összenergia kisebb, mint a potenciális: E<V(x)
(V(x)-E)>0 
és 
azonos előjelűek.
Ilyen függvények írhatják le.
Hullámfüggvényt látván el lehet dönteni, hogy
melyek a klasszikus részecske számára elérhető és melyek az elérhetetlen
tartományok.
A hullám
két fontos tulajdonsága:
1. Regularitás Þ négyzetes
integrálhatóság 
|j˛| dV= véges itt 
|j(x)|˛dx= véges 
j(x)=0 azaz a
hullámfüggvénynek a végtelenben nullához kell tartania.
2.
folytonos, kivéve, ha V(x)-nek végtelen szakadása van.
a.) b.)
c.)
folytonos V(x)
véges szakadású V(x)=
végtelen szakadású
Ezek után
térjünk vissza az eredeti problémára: a kötött állapot kvalitatív tárgyalására!
A hullámfüggvény menete, figyelembe véve a
görbületekre tett észrevételeket és a folytonosság követelményét:
, 
helyen inflexiós pont
mert a görbület elöjelet vált.
A fizikai
rendszert csak a j(x)
írja le, mert a ¥-ben csak ez tűnik el. Azaz a ¥-ben való eltűnést nem lehet tetszőleges E értéknél
biztosítani.
Az energia
sajátérték egyenlet megoldása azt jelenti, hogy meg kell keresni azokat az E
értékeket, melyekkel a megoldásfüggvény j(x) reguláris.
-
+V(x)j=Ej j=j(x)
A fenti típusú görbékből csak egy darab lesz
reguláris. Vannak azonban más, az x tengelyt metsző görbék is.
Következtetések:
1. Bármilyen
kötött állapot esetén az energia sajátértékek diszkrét sorozatot alkotnak.
Szabad állapotban bármiféle energiaérték
előfordulhat.
Sekély gödörben véges a sorozat, csak néhány kötött
állapot jön létre.
pl.:
3
kötött állapot
Végtelen mély gödörben végtelen sok kötött
állapot van.
pl.:
x V=-k
=-E*
2. j(x)
tulajdonságai:
-nek nincs zérushelye
-nek 1 zérushelye van
-nak 2 zérushelye van
-nek (n-1) zérushelye van
zérushely = csomópont
Minél
nagyobb az E annál cifrább a 
,
nagyobb görbületek vannak rajta.
3.
Tartózkodási valószínűségek:
A
részecske véges valószínűséggel tartózkodik a klasszikus mozgástartományon
kívül.Þ negatív
kinetikus energia
Gerjesztett
állapotban a klasszikus mozgástartomány egyes pontjairól viszont kiszorul a
részecske.
pl.: 1.
gerjesztett állapotban az intervallum közepén a részecske sohasem található
meg.
Példa:
A (0,a) intervallumra korlátozott részecske:
V(x)=
-+V(x)=E
ha x<a vagy x>a
akkor
0 , hisz
a részecske a (0,a) intervallumra van korlátozva. Ezt csak
végtelenül nagy potenciállal lehet megtenni.
folytonosság Þ (0)= (a)=0
-=E 
=-
2mE=p2 (jelölés)
=-
Megoldás:
=Asin
x+Bcosx ,mert ez az alak
illeszthető legkönnyebben a határfeltételekhez.
(0)=0
Asin0+Bcos0=0
B*1=0
B=0
(a)=0
0=Asina
a=np A¹0
= np
