14. tétel: A szabad részecske, áthaladás potenciállépcsőn és -gáton, alagúteffektus

Emlékeztető:

Stacionárius esetben:

Szabad részecske:

V=const.

V konstanst válasszuk 0-nak.

Ekkor stacionárius esetben igaz, hogy:

Descartes-féle koordinátarendszerben:

A megoldást szeparált alakban keressük:

Az egyenlet jobb oldalán álló tag konstans. Ez csak akkor lehetséges, ha a bal oldalon lévő tagok nem függenek a helykoordinátáktól.

A bal oldali összeg tagjai konstans értékek:

Megoldás x az irányra (a többi irányra hasonló az eredmény):

Az előjel a -ban benne van.

Állítás: X(x) sajátfüggvénye -nek

A megfelelő sajátérték egyenlet:

azaz

Elvégezve a deriválást:

Ez hasonlóan elvégezhető Y-ra és Z-re:

Ezek szerint:

Legyen ABC=K

így:

A szabad részecske stacionárius állapotban tehát a következő függvénnyel leírt állapotban tartózkodik:

Ez pedig egy síkhullámot ír le.

Megjegyzések:

1. Stacionárius állapotban a részecske mindig energia sajátállapotban tartózkodik, ez egyúttal impulzus sajátállapot is. Tehát a részecske egyidejűleg rendelkezik meghatározott energiával és meghatározott impulzussal. Ez így van a klasszikus fizikában is.

2. Az energiára nem kaptunk feltételt, vagyis az energia (E) értéke tetszőleges lehet. Tehát míg kötött állapotban a részecske diszkrét energiaértékkel rendelkezik, addig szabad állapotban bármilyen, vagyis a szabad állapotú részecske energiaspektruma folytonos.

3. Vajon ennek a síkhullámnak mekkora a hullámhossza és frekvenciája? A síkhullám –mint tudjuk- felírható a következő alakban is:

Tehát:

Visszakaptuk a de Broglie 1. összefüggését.

Visszakaptuk de Broglie 2. összefüggését.

Ez nem meglepő, hiszen az anyag hullámtermészetéből következnek ezek az egyenletek, de ahogy felírtuk ezeket, az még nem következett közvetlenül. Most viszont láthatjuk, hogy ezek az egyenletek teljesen megfelelnek annak, amit de Broglie állított.

4. A hullámcsomag nem stacionárius megoldás. Egy hullámcsomag mindig „szétfolyik”.

5. A síkhullámban tartózkodási valószínűség helytől független érték.

A síkhullámban a részecske egyáltalán nincs lokalizálva, bárhol ugyanolyan eséllyel tartózkodik.

Potenciállépcső egy dimenzióban

Legyen a potenciállépcső a következő:

Általános megoldás az (1) tartományra:

Általános megoldás a (2) tartományra:

(időtől független egyenlet)

Átrendezve:

Tárgyaljuk azt az esetet, ha V₀ >E:

Legyen , ami valós, hiszen V₀ >E .

de D=0 kell, hogy legyen, mivel

így a megoldás

B és C visszavezethető A-ra a határfeltételek figyelembe vételével:

1. j folytonos j₁(0)= j₂(0)

A+B=C

2. folytonos

i × p_x × (A-B)=-q × C Þ kifejezhető C=C(A)

tartózkodási valószínűségsűrűség a 2. tartományban

a részecske valamelyest behatol a 2. tartományba, előbb-utóbb a részecske visszafordul; a visszaverődés teljes lesz.

Behatolási mélység: x_b az a távolság amelyen a tartózkodási valószínűségsűrűség e-ed részére csökken

;a kitevőknek meg kell egyezni.

Þ

A részecske annál jobban be tud hatolni a klasszikus fizika szerint számára tiltott tartományba minél kisebb a tömege és minél kisebb a hiányzó energia.

Véges vastagságú gát:

feltétel: legyen a>>X_b

E<V₀

G: annak a valószínűsége hogy a részecske átjuthat a gáton

Jó közelítéssel .

Ez a kvantummechanikai alagúteffektus. (A klasszikus mechanikában ez az effektus hiányzik.)

A részecske jó eséllyel átjut a gáton (G nagy), ha

· m kicsi

· V₀-E kicsi, és

· a kicsi.

Megjegyzés: ha E > V₀ , akkor az áthaladás valószínűsége (T)

sőt visszaverődhet, a V₀ < 0 esetben is.

Itt is van esély a visszaverődésre.
Van hasonlóság az elektromágneses hullámok fémről való visszaverődésével.

Példák az alagúteffektusra

1. Vékony oxidréteg vezet.

1 eV =J

- ez kb. egy oxidréteg vastagsága.

Körülbelül egy réteg oxid csökkenti e-vel az elektronsűrűséget.

2. Hidegemisszió

Az elektronok a fém belsejében egy potenciálgödörben vannak, a gát végtelen hosszúnak tekinthető Þ az elektron kijutási valószínűsége zérus.

Feszültséget kapcsolva a fémre, az így kialakult gáton az elektron véges valószínűséggel átjuthat.

Gyakorlati alkalmazás: pásztázó alagútmikroszkóp.

Pásztázó alagútmikroszkóp (scanning tunnel microscope)

az egykristály hegyet mozogatják a felület felett, ahol domborulat van a tűhegy közelebb kerül a felülethez ® csökken a gát ® nő a G

3. Minden energiatermelő reakció küszöb alatt indul.

Ha V ₀ < E, de V₀-E kicsi, akkor a reakció igen lassan már folyik

.

4. a - bomlás:

Az a részecske előbb-utóbb átjut a gáton.